Question

13．如圖，邊長為2的等邊三角形ABC中，D為BC的中點，將△ABC沿AD翻折成直二面角B-AD-C，點E，F(xiàn)分別是AB，AC的中點．
（1）求證：BC∥平面DEF；
（2）求多面體D-BCEF的體積．

Answer 1

分析 （1）推導(dǎo)出EF∥BC．由此能證明BC∥平面DEF．
（Ⅱ）推導(dǎo)出AD⊥BD，AD⊥CD，從而AD⊥平面BCD，進(jìn)而得到V_D-BCFE=V_{三棱錐A-BCD}-V_{三棱錐F-ADE}，由此能求出多面體D-BCEF的體積．

解答 證明：（1）因為點E，F(xiàn)分別是AB，AC的中點，所以EF∥BC．
又因為BC?平面DEF，EF?平面DEF，
所以BC∥平面DEF．  …（5分）
解：（2）依題意，AD⊥BD，AD⊥CD，且BD∩DC=D，
所以AD⊥平面BCD，
又因為二面角B-AD-C為直二面角，所以BD⊥CD，
所以${V_{三棱錐A-BCD}}=\frac{1}{3}{S_{△BCD}}•AD=\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×1×1×\sqrt{3}=\frac{{\sqrt{3}}}{6}$，
${V_{三棱錐F-ADE}}=\frac{1}{3}{S_{△ADE}}•\frac{1}{2}CD=\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×\sqrt{3}×\frac{1}{2}×\frac{1}{2}×1=\frac{{\sqrt{3}}}{24}$，
所以${V_{D-BCFE}}={V_{三棱錐A-BCD}}-{V_{三棱錐F-ADE}}=\frac{{\sqrt{3}}}{6}-\frac{{\sqrt{3}}}{24}=\frac{{\sqrt{3}}}{8}$．  …（12分）

點評 本題考查線面平行的證明，考查多面體D-BCEF的體積的求法，考查推理論證能力、運算求解能力、空間思維能力，考查轉(zhuǎn)化化歸思想、數(shù)形結(jié)合思想，是中檔題．