8.已知矩陣A=$[\begin{array}{l}{1}&\\{-1}&{a}\end{array}]$(a,b∈R),若點(diǎn)P(1,1)在矩陣A對應(yīng)的變換作用下得到點(diǎn)P′(-1,1).
(1)求實(shí)數(shù)a,b的值;
(2)求矩陣A的特征值.

分析 (1)由題意可知:$[\begin{array}{l}{1}&\\{-1}&{a}\end{array}]$$[\begin{array}{l}{1}\\{1}\end{array}]$=$[\begin{array}{l}{-1}\\{1}\end{array}]$,即$\left\{\begin{array}{l}{1+b=-1}\\{-1+a=1}\end{array}\right.$,解得:$\left\{\begin{array}{l}{a=2}\\{b=-2}\end{array}\right.$,即可求得實(shí)數(shù)a,b的值;
(2)由(1)可知:A=$[\begin{array}{l}{1}&{-2}\\{-1}&{2}\end{array}]$,f(λ)=λE-A=$|\begin{array}{l}{λ-1}&{2}\\{1}&{λ-2}\end{array}|$=λ(λ-3),f(λ)=0,解得:λ=0或λ=3,即可求得矩陣A的特征值,代入即可求得特征向量.

解答 解:(1)由題意可知:$[\begin{array}{l}{1}&\\{-1}&{a}\end{array}]$$[\begin{array}{l}{1}\\{1}\end{array}]$=$[\begin{array}{l}{-1}\\{1}\end{array}]$,即$\left\{\begin{array}{l}{1+b=-1}\\{-1+a=1}\end{array}\right.$,
解得:$\left\{\begin{array}{l}{a=2}\\{b=-2}\end{array}\right.$,
∴A=$[\begin{array}{l}{1}&{-2}\\{-1}&{2}\end{array}]$,
(2)由(1)可知:A=$[\begin{array}{l}{1}&{-2}\\{-1}&{2}\end{array}]$,
特征多項(xiàng)式f(λ)=λE-A=$|\begin{array}{l}{λ-1}&{2}\\{1}&{λ-2}\end{array}|$=λ(λ-3),
令f(λ)=0,解得:λ=0或λ=3,
∴特征值λ1=3,λ2=0,
當(dāng)λ1=3時(shí),齊次線性方程組(λE-A)X=0,
$\left\{\begin{array}{l}{2{x}_{1}+2{x}_{2}=0}\\{{x}_{1}+{x}_{2}=0}\end{array}\right.$,解得:x1=-x2,令x2=1,
∴其基礎(chǔ)解系為$\overrightarrow{{ξ}_{1}}$=$(\begin{array}{l}{-1}\\{1}\end{array})$,
屬于λ1=3的全部特征向量為:k1$\overrightarrow{{ξ}_{1}}$(k1≠0),
當(dāng)λ2=0時(shí),齊次線性方程組(λE-A)X=0,
即$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}-2{x}_{2}=0}\\{{-{x}_{1}+x}_{2}=0}\end{array}\right.$,解得:x1=2x2,令x2=1,
∴其基礎(chǔ)解系為ξ2=$(\begin{array}{l}{2}\\{1}\end{array})$,
屬于λ2=0的全部特征向量為:k2$\overrightarrow{{ξ}_{2}}$(k2≠0).

點(diǎn)評 本題主要考查矩陣變換的應(yīng)用,考查了二階矩陣,以及特征值與特征向量的計(jì)算,屬于中檔題.

練習(xí)冊系列答案
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2.如圖,在正方體ABCDA1B1C1D1中,求證:平面AB1D1∥平面C1BD;

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3.若x、y滿足約束條件$\left\{\begin{array}{l}x-1≥0\\ x-y≤0\\ x+y-4≤0\end{array}\right.$,則$\frac{y-1}{x}$的最大值為2.

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16.已知直線l1:y=x+2,l2:y=x-2,矩陣$M=({\begin{array}{l}0&2\\ 1&0\end{array}})$.
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(Ⅱ)若將(Ⅰ)中所得直線再進(jìn)行伸縮變換N之后得到直線l2,求伸縮變換的矩陣N.

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3.已知函數(shù)f(x)=$\frac{1}{2}{x^2}$-2lnx+a(a∈R),g(x)=-x2+3x-4.
(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(2)設(shè)a=0,直線x=t與f(x),g(x)的圖象分別交于點(diǎn)M、N,當(dāng)|MN|達(dá)到最小值時(shí),求t的值;
(3)若對于任意x∈(m,n)(其中n-m≥1),兩個(gè)函數(shù)圖象分別位于直線l:x-y+s=0的兩側(cè)(與直線l無公共點(diǎn)),則稱這兩個(gè)函數(shù)存在“EN通道”.試探究:f(x)與g(x)是否存在“EN通道”,若存在,求出x的取值范圍;若不存在,請說明理由.

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13.若隨機(jī)變量X的分布列為:
X01
p0.30.7
已知隨機(jī)變量Y=aX+b(a,b∈R,a>0),且E(Y)=10,D(Y)=21,則a與b的值為( 。
A.a=10,b=3B.a=3,b=10C.a=100,b=-60D.a=60,b=-100

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20.設(shè)向量$\overrightarrow{a}$=(m,1),$\overrightarrow$=(2,-3),若滿足$\overrightarrow{a}⊥\overrightarrow$,則m=( 。
A.$\frac{2}{3}$B.-$\frac{2}{3}$C.$\frac{3}{2}$D.-$\frac{3}{2}$

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17.①設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,由an=2n-1,求出S${\;}_{1}={1}^{2}$,S${\;}_{2}={2}^{2}$,S${\;}_{3}={3}^{2}$,…,推斷:S${\;}_{n}={n}^{2}$;②由圓x2+y2=r2的面積S=πr2,推斷:橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1(a>b>0)的面積S=πab.則①②兩個(gè)推理依次是( 。
A.歸納推理,類比推理B.演繹推理,類比推理
C.類比推理,演繹推理D.歸納推理,演繹推理

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18.4位同學(xué)各自在周五、周六、周日三天中任選一天參加公益活動,則三天都有同學(xué)參加公益活動的概率為( 。
A.$\frac{1}{9}$B.$\frac{2}{9}$C.$\frac{4}{9}$D.$\frac{26}{27}$

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