Question

16．已知直線l₁：y=x+2，l₂：y=x-2，矩陣$M=（{\begin{array}{l}0&2\\ 1&0\end{array}}）$．
（Ⅰ）求直線l₁經(jīng)過(guò)矩陣M變換之后得到的直線方程；
（Ⅱ）若將（Ⅰ）中所得直線再進(jìn)行伸縮變換N之后得到直線l₂，求伸縮變換的矩陣N．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由矩陣的變換公式可知：$（{\begin{array}{l}0&2\\ 1&0\end{array}}）（\begin{array}{l}x\\ y\end{array}）=（\begin{array}{l}2y\\ x\end{array}）=（\begin{array}{l}{x'}\\{y'}\end{array}）$，求得$\left\{\begin{array}{l}y=\frac{1}{2}x'\\ x=y'\end{array}\right.$，由y=x+2，代入可知x'-2y'-4=0，經(jīng)過(guò)矩陣M變換之后得到的直線方程為x-2y-4=0；
（Ⅱ）設(shè)伸縮變換N=$（{\begin{array}{l}s&0\\ 0&t\end{array}}）$點(diǎn)（x'，y'）經(jīng)變換N之后得到的點(diǎn)（x''，y''），可知：$\left\{\begin{array}{l}x''=sx'\\ y''=ty'\end{array}\right.$，由又l₂的方程為y=x-2，又（Ⅰ）中所得到的直線為x'-2y'-4=0，因此$\frac{s}{1}=\frac{t}{2}=\frac{2}{4}$，求得$s=\frac{1}{2}，t=1$，即可求得伸縮變換的矩陣N．

解答 解：（Ⅰ）設(shè)直線l₁上的任意一點(diǎn)為（x，y）經(jīng)過(guò)矩陣M變換之后得到的點(diǎn)為（x'，y'），
則$（{\begin{array}{l}0&2\\ 1&0\end{array}}）（\begin{array}{l}x\\ y\end{array}）=（\begin{array}{l}2y\\ x\end{array}）=（\begin{array}{l}{x'}\\{y'}\end{array}）$…（1分）
∴$\left\{\begin{array}{l}y=\frac{1}{2}x'\\ x=y'\end{array}\right.$，
又y=x+2，
∴$\frac{1}{2}x'=y'+2$，即x'-2y'-4=0，
∴經(jīng)過(guò)矩陣M變換之后得到的直線方程為x-2y-4=0…（3分）
（Ⅱ）設(shè)伸縮變換N=$（{\begin{array}{l}s&0\\ 0&t\end{array}}）$點(diǎn)（x'，y'）經(jīng)變換N之后得到的點(diǎn)（x''，y''），
則$（{\begin{array}{l}s&0\\ 0&t\end{array}}）（\begin{array}{l}{x'}\\{y'}\end{array}）=（\begin{array}{l}sx'\\ ty'\end{array}）=（\begin{array}{l}{x''}\\{y''}\end{array}）$，
∴$\left\{\begin{array}{l}x''=sx'\\ y''=ty'\end{array}\right.$，（4分）
又l₂的方程為y=x-2，
故ty'=sx'-2，
即sx'-ty'-2=0
又（Ⅰ）中所得到的直線為x'-2y'-4=0，
∴$\frac{s}{1}=\frac{t}{2}=\frac{2}{4}$，
即$s=\frac{1}{2}，t=1$
∴$N=（{\begin{array}{l}{\frac{1}{2}}&0\\ 0&1\end{array}}）$．（7分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查矩陣變換的應(yīng)用，考查了矩陣與變換的運(yùn)算、變換的矩陣求法等知識(shí)，屬于中檔題．