Question

9．設(shè)f（x）=ln x，g（x）=f（x）+f′（x），求g（x）的單調(diào)區(qū)間和最小值．

Answer 1

分析 求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而求出函數(shù)的最小值即可．

解答 解：由題意知f′（x）=$\frac{1}{x}$，g（x）=ln x+$\frac{1}{x}$，
∴g′（x）=$\frac{x-1}{{x}^{2}}$，
令g′（x）=0，得x=1．
當(dāng)x∈（0，1）時(shí)，g′（x）＜0，
故（0，1）是g（x）的單調(diào)減區(qū)間．
當(dāng)x∈（1，+∞）時(shí)，g′（x）＞0，
故（1，+∞）是g（x）的單調(diào)增區(qū)間．
因此，x=1是g（x）的唯一極值點(diǎn)，且為極小值點(diǎn)，從而是最小值點(diǎn)．
所以g（x）的最小值為g（1）=1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問(wèn)題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，是一道中檔題．