Question

1．如圖，在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，每條棱長均相等，D為棱AB的中點，E為側棱CC₁的中點．
（1）求證：OD∥平面A₁BE
（2）求證：AB₁⊥平面A₁BE．

Answer 1

分析 （1）設AB₁和A₁B的交點為O，連接EO，連接OD，易得四邊形ECDO為平行四邊形，即EO∥CD．得到OD∥平面A₁BE．
（2）證明EO⊥AB₁． AB₁⊥A₁B．即可得到AB₁⊥平面A₁BE

解答 解：（1）設AB₁和A₁B的交點為O，連接EO，連接OD，因為O為AB₁的中點，D為AB的中點，所以OD∥BB₁，且$OD=\frac{1}{2}B{B_1}$又E是CC₁中點，則EC∥BB₁
且$EC=\frac{1}{2}B{B_1}$，所以EC∥OD且EC=OD．所以四邊形ECDO為平行四邊形，
所以EO∥CD． …（4分）
又CD?平面A₁BE，EO?平面A₁BE，則CD∥平面A₁BE…（7分）
（2）因為正三棱柱，所以BB₁⊥平面ABC．因為CD?平面ABC，
所以BB₁⊥CD．由已知得AB=BC=AC，所以CD⊥AB．
所以CD⊥平面A₁ABB₁由（1）可知EO∥CD，所以EO⊥平面A₁ABB₁所以EO⊥AB₁． …（11分）
因為正三棱柱各棱長相等，所以側面是正方形，所以AB₁⊥A₁B．
又EO∩A₁B=O，EO?平面A₁EB，A₁B?平面A₁EB．所以AB₁⊥平面A₁BE． …（14分）

點評 本題考查了空間線面平行、線面垂直的判定，轉化思想是解題的關鍵，屬于中檔題．