Question

19．已知四棱錐P-ABCD的底面為直角梯形，AB∥DC，∠DAB=90°，PA⊥底面ABCD，且$PA=AD=DC=\frac{1}{2}$，AB=1，M是PB的中點(diǎn)  
（Ⅰ）證明：面PAD⊥面PCD；
（Ⅱ）求面AMC與面BMC所成二面角的大�。�

Answer 1

分析 （I）以A為坐標(biāo)原點(diǎn)AD長(zhǎng)為單位長(zhǎng)度，建立空間直角坐標(biāo)系，證明DC⊥面PAD，可得面PAD⊥面PCD；
（Ⅱ）求出平面AMC、ABC的法向量，利用向量的夾角公式，即可求平面AMC與平面ABC夾角的余弦值，再由反三角求得面AMC與面BMC所成二面角的大小．

解答 （Ⅰ）證明：以A為坐標(biāo)原點(diǎn)AD長(zhǎng)為單位長(zhǎng)度，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，
∴A（0，0，0），B（0，2，0），C（1，1，0），D（1，0，0），P（0，0，1），M（0，1，$\frac{1}{2}$）．
則$\overrightarrow{AP}$=（0，0，1），$\overrightarrow{DC}$=（0，1，0），
∵$\overrightarrow{AP}•\overrightarrow{DC}$=0，
∴AP⊥DC．
由題設(shè)知AD⊥DC，且AP與AD是平面PAD內(nèi)的兩條相交直線，
∴DC⊥面PAD．
又DC?面PCD，∴面PAD⊥面PCD；
（II）解：設(shè)平面PAC的法向量為$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
∵$\overrightarrow{AC}$=（1，1，0），$\overrightarrow{AM}$=（0，1，$\frac{1}{2}$）．
∴由$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AC}=x+y=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AM}=y+\frac{1}{2}z=0}\end{array}\right.$，取x=1，得$\overrightarrow{n}$=（1，-1，2）．
∵平面ABC的法向量$\overrightarrow{AP}$=（0，0，1），
∴cos＜$\overrightarrow{n}，\overrightarrow{AP}$＞=$\frac{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AP}}{|\overrightarrow{n}||\overrightarrow{AP}|}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$．
∴平面AMC與平面ABC夾角的余弦值為$\frac{\sqrt{6}}{3}$，
則面AMC與面BMC所成二面角的大小為arccos$\frac{\sqrt{6}}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查面面垂直，面面角，考查向量知識(shí)的運(yùn)用，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．