Question

6．已知雙曲線$C：\frac{x^2}{4}-{y^2}=1$的左右兩個頂點是A₁，A₂，曲線C上的動點P，Q關于x軸對稱，直線A₁P與A₂Q交于點M，
（1）求動點M的軌跡D的方程；
（2）點E（0，2），軌跡D上的點A，B滿足$\overrightarrow{EA}=λ\overrightarrow{EB}$，求實數λ的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）分別求得A₁P與A₂Q的方程，兩式相乘，化簡整理即可求得動點M的軌跡D的方程；
（2）當直線斜率存在時，設直線方程，代入橢圓方程，利益韋達定理及向量數量積的坐標運算，即可求得實數λ的取值范圍．

解答 解：（1）由已知A₁（-2，0），A₂（2，0），設$P（{t，\frac{{\sqrt{{t^2}-4}}}{2}}）．Q（{t，-\frac{{\sqrt{{t^2}-4}}}{2}}）$
則直線${A_1}P：y=\frac{{\sqrt{{t^2}-4}}}{{2（{t+2}）}}（{x+2}）$，
直線${A_2}Q：y=\frac{{-\sqrt{{t^2}-4}}}{{2（{t-2}）}}（{x-2}）$，
兩式相乘得${y^2}=\frac{-1}{4}（{{x^2}-4}）$，化簡得$\frac{x^2}{4}+{y^2}=1$，
即動點M的軌跡D的方程為$\frac{x^2}{4}+{y^2}=1$；
（2）過E（0，2）的直線若斜率不存在則$λ=\frac{1}{3}$或3，
設直線斜率k存在，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
$\left\{\begin{array}{l}y=kx+2\\{x^2}+4{y^2}-4=0\end{array}\right.⇒（{1+4{k^2}}）{x^2}+16kx+12=0$，
則$\left\{\begin{array}{l}△≥0（1）\\{x_1}+{x_2}=-\frac{16k}{{1+4{k^2}}}（2）\\{x_1}{x_2}=\frac{12}{{1+4{k^2}}}（3）\\{x_1}=λ{x_2}（4）\end{array}\right.$
由（2）（4）解得x₁，x₂代入（3）式得$\frac{λ}{{{{（{1+λ}）}^2}}}•{（{\frac{-16k}{{1+4{k^2}}}}）^2}=\frac{12}{{1+4{k^2}}}$，
化簡得$\frac{λ}{{{{（{1+λ}）}^2}}}=\frac{3}{64}（{\frac{1}{k^2}+4}）$，
由（1）△≥0解得${k^2}≥\frac{3}{4}$代入上式右端得，$\frac{3}{16}＜\frac{λ}{{{{（{1+λ}）}^2}}}≤\frac{1}{4}$，
解得$\frac{1}{3}＜λ＜3$，
綜上實數的取值范圍是$[{\frac{1}{3}，3}]$．

點評 本題考查橢圓的標準方程，直線與橢圓的位置關系，考查韋達定理，向量數量積的坐標，考查計算能力，屬于中檔題．