Question

已知函數(shù)f（x）=1n（2ax+1）+－x²－2ax（a∈R）．
（1）若y=f（x）在[4，+∞）上為增函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍；
（2）當a=時，方程f（1－x）=有實根，求實數(shù)b的最大值．

Answer 1

（1）  （2）取到最大值

試題分析：（1）因為函數(shù)在上為增函數(shù)，所以
在上恒成立。
①當時，在上恒成立，所以在上為增
函數(shù)，故符合題意。
②當時，由函數(shù)的定義域可知，必須有在上恒成立，
故只能，所以在上恒成立。 .
令函數(shù)，其對稱軸為，因為，
所以，要使在上恒成立，只要即可，即，所以，因為，所以
綜上所述，的取值范圍為               
（2）當，方程可化為。問題轉
化為在上有解，即求函數(shù)的值域。令函數(shù)   
則，所以當時，，函數(shù)在上為增函數(shù)，當時，，函數(shù)在上為減函數(shù)，因此。而，所以，因此當時，取到最大值.
點評：本題主要考查了利用函數(shù)的導數(shù)求解函數(shù)極值的應用，及利用函數(shù)的導數(shù)研究函數(shù)的單調性及函數(shù)的最值的求解，解答本題要求考生具備較強的邏輯推理與運算的能力．