Question

16．已知sinα=$\frac{4}{5}$，α∈（$\frac{π}{2}$，π）
（Ⅰ）求sin（α-$\frac{π}{4}$）的值；
（Ⅱ）求tan2α的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由sinα的值及α的范圍，利用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系求出cosα的值，再由正弦函數(shù)的和差化積公式計(jì)算得答案；
（Ⅱ）由sinα，cosα的值求出tanα的值，然后代入正切函數(shù)的二倍角公式計(jì)算得答案．

解答 解：（Ⅰ）∵sinα=$\frac{4}{5}$，α∈（$\frac{π}{2}$，π），
∴$cosα=-\sqrt{1-si{n}^{2}α}=-\sqrt{1-\frac{16}{25}}=-\frac{3}{5}$．
∴sin（α-$\frac{π}{4}$）=$sinαcos\frac{π}{4}-cosαsin\frac{π}{4}$
=$\frac{4}{5}×\frac{\sqrt{2}}{2}-（-\frac{3}{5}）×\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{7\sqrt{2}}{10}$；
（Ⅱ）∵$tanα=\frac{sinα}{cosα}=-\frac{4}{3}$，
∴tan2α=$\frac{2tanα}{1-ta{n}^{2}α}=\frac{2×（-\frac{4}{3}）}{1-（-\frac{4}{3}）^{2}}=\frac{24}{7}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了三角函數(shù)的化簡(jiǎn)求值，考查了同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系以及二倍角公式的應(yīng)用，是基礎(chǔ)題．