Question

13．設x，y，z為正實數，且x+y+z=3．求證：$\frac{x^2}{{x+\sqrt{yz}}}+\frac{y^2}{{y+\sqrt{zx}}}+\frac{z^2}{{z+\sqrt{xy}}}≥\frac{3}{2}$．

Answer 1

分析 根據題意，由柯西不等式可得（x+y+z+$\sqrt{yz}$+$\sqrt{zx}$+$\sqrt{xy}$）（$\frac{x^2}{{x+\sqrt{yz}}}+\frac{y^2}{{y+\sqrt{zx}}}+\frac{z^2}{{z+\sqrt{xy}}}$）≥（x+y+z）²=9，進而基本不等式分析可得$\sqrt{yz}$+$\sqrt{zx}$+$\sqrt{xy}$≤x+y+z=3，進而可得x+y+z+$\sqrt{yz}$+$\sqrt{zx}$+$\sqrt{xy}$≤6，將其代入（x+y+z+$\sqrt{yz}$+$\sqrt{zx}$+$\sqrt{xy}$）（$\frac{x^2}{{x+\sqrt{yz}}}+\frac{y^2}{{y+\sqrt{zx}}}+\frac{z^2}{{z+\sqrt{xy}}}$）≥9中，原不等式即可得到證明．

解答 證明：根據題意，x，y，z為正實數，由柯西不等式可得：
（x+y+z+$\sqrt{yz}$+$\sqrt{zx}$+$\sqrt{xy}$）（$\frac{x^2}{{x+\sqrt{yz}}}+\frac{y^2}{{y+\sqrt{zx}}}+\frac{z^2}{{z+\sqrt{xy}}}$）≥（x+y+z）²=9，
即$\frac{x^2}{{x+\sqrt{yz}}}+\frac{y^2}{{y+\sqrt{zx}}}+\frac{z^2}{{z+\sqrt{xy}}}$≥$\frac{9}{x+y+z+\sqrt{yz}+\sqrt{zx}+\sqrt{xy}}$，
而x+y+z=3且x+y≥2$\sqrt{xy}$，x+z≥2$\sqrt{xz}$，z+y≥2$\sqrt{zy}$，
分析可得$\sqrt{yz}$+$\sqrt{zx}$+$\sqrt{xy}$≤x+y+z=3，
又由x+y+z=3，
則x+y+z+$\sqrt{yz}$+$\sqrt{zx}$+$\sqrt{xy}$≤6，
故$\frac{x^2}{{x+\sqrt{yz}}}+\frac{y^2}{{y+\sqrt{zx}}}+\frac{z^2}{{z+\sqrt{xy}}}$≥$\frac{9}{x+y+z+\sqrt{yz}+\sqrt{zx}+\sqrt{xy}}$≥$\frac{9}{6}$=$\frac{3}{2}$；
故可證：$\frac{x^2}{{x+\sqrt{yz}}}+\frac{y^2}{{y+\sqrt{zx}}}+\frac{z^2}{{z+\sqrt{xy}}}$≥$\frac{3}{2}$．

點評 本題主要考查柯西不等式的應用，關鍵在于對左式的配湊變形，使其滿足柯西不等式的條件．