Question

16．設(shè)實(shí)數(shù)x，y滿足條件$\left\{\begin{array}{l}x-y+2≥0\\ 2x-y-4≤0\\ x≥0，y≥0\end{array}\right.$，若目標(biāo)函數(shù)z=ax+by（a＞0，b＞0）的最大值為12，則$\frac{3}{a}+\frac{4}$的最小值為$\frac{49}{6}$．

Answer 1

分析 作出不等式對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域，利用線性規(guī)劃的知識(shí)先求出a，b的關(guān)系，然后利用基本不等式求$\frac{3}{a}+\frac{4}$的最小值．

解答 解：由z=ax+by（a＞0，b＞0）得y=$-\frac{a}x+\frac{z}$，
作出可行域如圖：
∵a＞0，b＞0，
∴直線y=$-\frac{a}x+\frac{z}$的斜率為負(fù)，且截距最大時(shí)，z也最大．
平移直線y=$-\frac{a}x+\frac{z}$，由圖象可知當(dāng)y=$-\frac{a}x+\frac{z}$經(jīng)過點(diǎn)A時(shí)，
直線的截距最大，此時(shí)z也最大．
由$\left\{\begin{array}{l}{x-y+2=0}\\{2x-y-4=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=6}\\{y=8}\end{array}\right.$，即A（6，8）．
此時(shí)z=6a+8b=12，
即$\frac{a}{2}$+$\frac{2b}{3}$=1，
則$\frac{3}{a}+\frac{4}$=（$\frac{3}{a}+\frac{4}$）（$\frac{a}{2}$+$\frac{2b}{3}$）
=$\frac{3}{2}$+$\frac{8}{3}$+$\frac{2b}{a}$+$\frac{2a}$≥$\frac{25}{6}$+2$\sqrt{\frac{2b}{a}•\frac{2a}}$=$\frac{25}{6}$+4=$\frac{49}{6}$，
當(dāng)且僅當(dāng)$\frac{2b}{a}$=$\frac{2a}$時(shí)取=號(hào)，
故答案為：$\frac{49}{6}$

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查線性規(guī)劃的應(yīng)用以及基本不等式的應(yīng)用，利用數(shù)形結(jié)合是解決線性規(guī)劃題目的常用方法．