Question

2．（1）若不等式|x-m|＜1成立的充分不必要條件為$\frac{1}{3}$＜x＜$\frac{1}{2}$，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．
（2）已知a，b是正數(shù)，且a+b=1，求證：（ax+by）（bx+ay）≥xy．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)絕對(duì)值不等式的解法，結(jié)合充分條件和必要條件的定義建立不等式關(guān)系進(jìn)行求解即可．
（2）展開（ax+by）（bx+ay）利用基本不等式的性質(zhì)即可得出．

解答 解：（1）由|x-m|＜1得-1＜x-m＜1，即m-1＜x＜m+1，
若不等式|x-m|＜1成立的充分不必要條件為$\frac{1}{3}$＜x＜$\frac{1}{2}$，
則（$\frac{1}{3}$，$\frac{1}{2}$）?（m-1，m+1），
即$\left\{\begin{array}{l}{m-1≤\frac{1}{3}}\\{m+1≥\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}{m≤\frac{4}{3}}\\{m≥-\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，即$-\frac{1}{2}$≤m≤$\frac{4}{3}$，
即實(shí)數(shù)m的取值范圍是$-\frac{1}{2}$≤m≤$\frac{4}{3}$．
（2）證明：∵a，b是正數(shù)，且a+b=1，
∴（ax+by）（bx+ay）=abx²+（a²+b²）xy+aby²
=ab（x²+y²）+（a²+b²）xy  
≥ab?2xy+（a²+b²）xy  
=（a+b）²xy
=xy，
∴（ax+by）（bx+ay）≥xy成立．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查不等式的應(yīng)用和證明，利用絕對(duì)值的性質(zhì)結(jié)合不等式的證明方法是解決本題的關(guān)鍵．