Question

【題目】如圖，平面平面，，，點E，F分別在線段AB，CD上，且.求證：.

Answer 1

【答案】證明見解析

【解析】

AB，CD位置關系分類討論，若AB，CD共面，可得，結合已知條件可證，即可得證結論；AB，CD異面，作交于點H，連接BH，HD，根據面面平行的性質定理，可證，作交AH于點G，可得，結合已知條件，可證，進而證明，得到平面，即可證明結論.

證明：（1）當AB，CD共面時，

因為，且平面平面，

平面平面，所以.

所以四邊形ABDC是梯形或平行四邊形.

由，得.

又，，所以.

（2）當AB，CD異面時，

作交于點H，連接BH，HD，如圖所示.

因為，且平面AHDC與平面，的交線分別為AC，HD，

所以.所以四邊形AHDC為平行四邊形.

作交AH于點G，連接EG，于是.

因為，所以，從而.

又，，所以.

因為，，，所以.

又，平面EFG，平面EFG，

所以平面.

又平面EFG，，所以.