Question

4．若函數(shù)$f（x）=\sqrt{3}sin（2x+φ）+cos（2x+φ）（|φ|＜\frac{π}{2}）$為偶函數(shù)，則（　�。�

• A． f（x）的最小正周期為π，且在$（0，\frac{π}{2}）$上為增函數(shù)
• B． f（x）的最小正周期為$\frac{π}{2}$，且在$（0，\frac{π}{4}）$上為增函數(shù)
• C． f（x）的最小正周期為$\frac{π}{2}$，且在$（0，\frac{π}{4}）$上為減函數(shù)
• D． f（x）的最小正周期為π，且在$（0，\frac{π}{2}）$上為減函數(shù)

Answer 1

分析 由兩角和的正弦公式化簡(jiǎn)解析式，由三角函數(shù)的奇偶性和誘導(dǎo)公式列出方程，結(jié)合條件求出φ的值，由三角函數(shù)的周期、余弦函數(shù)的單調(diào)性得到答案．

解答 解：由題意知，$f（x）=\sqrt{3}sin（2x+φ）+cos（2x+φ）$
=$2[\frac{\sqrt{3}}{2}sin（2x+φ）+\frac{1}{2}cos（2x+φ）]$
=$2sin（2x+φ+\frac{π}{6}）$，
∵f（x）是偶函數(shù)，∴$φ+\frac{π}{6}=\frac{π}{2}+kπ（k∈Z）$，
則$φ=\frac{π}{3}+kπ（k∈Z）$，
∵$|φ|＜\frac{π}{2}$，∴φ=$\frac{π}{3}$，
則$f（x）=2sin（2x+\frac{π}{2}）=2cos2x$，
∴f（x）的最小正周期為π，且在$（0，\frac{π}{2}）$上為減函數(shù)，
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查兩角和的正弦公式、誘導(dǎo)公式，三角函數(shù)的奇偶性和周期公式，以及余弦函數(shù)的單調(diào)性，考查化簡(jiǎn)、變形能力．