Question

4．等腰△ABC的角A=$\frac{π}{3}$，|BC|=2，以A為圓心，$\sqrt{3}$為半徑作圓，MN為該圓的一條直徑，則$\overrightarrow{BM}•\overrightarrow{CN}$的最大值為2$\sqrt{3}$-1．

Answer 1

分析 利用平面向量的三角形法則，進(jìn)行數(shù)量積的運(yùn)算，得到關(guān)于夾角θ的余弦函數(shù)解析式，借助于有界性求最值即可．

解答 解：設(shè)$\overrightarrow{CB}$與$\overrightarrow{AM}$的夾角為θ，
∴$\overrightarrow{BM}•\overrightarrow{CN}$=（$\overrightarrow{BA}$+$\overrightarrow{AM}$）•（$\overrightarrow{CA}$+$\overrightarrow{AN}$）=$\overrightarrow{BA}$•$\overrightarrow{CA}$+$\overrightarrow{AM}$•（$\overrightarrow{CA}$-$\overrightarrow{BA}$）-${\overrightarrow{AM}}^{2}$=2×2×$\frac{1}{2}$+$\overrightarrow{CB}$•$\overrightarrow{AM}$-3=2$\sqrt{3}$cosθ-1≤2$\sqrt{3}$-1
故答案為：$2\sqrt{3}-1$

點(diǎn)評(píng) 本題考查了平面向量的數(shù)量積運(yùn)算，借助于余弦函數(shù)的有界性求最值；屬于中檔題．