Question

某單位從一所學(xué)校招收某類特殊人才．對(duì)20位已經(jīng)選拔入圍的學(xué)生進(jìn)行運(yùn)動(dòng)協(xié)調(diào)能力和邏輯思維能力的測(cè)試，其測(cè)試結(jié)果如下表：

邏輯思維能力運(yùn)動(dòng)協(xié)調(diào)能力	一般	良好	優(yōu)秀
一般	2	2	1
良好	4	b	1
優(yōu)秀	1	3	a

例如，表中運(yùn)動(dòng)協(xié)調(diào)能力良好且邏輯思維能力一般的學(xué)生有2人．由于部分?jǐn)?shù)據(jù)丟失，只知道從這20位參加測(cè)試的學(xué)生中隨機(jī)抽取一位，抽到運(yùn)動(dòng)協(xié)調(diào)能力或邏輯思維能力優(yōu)秀的學(xué)生的概率為

2

5

．
（Ⅰ）求a，b的值；
（Ⅱ）從參加測(cè)試的20位學(xué)生中任意抽取2位，求其中至少有一位運(yùn)動(dòng)協(xié)調(diào)能力或邏輯思維能力優(yōu)秀的學(xué)生的概率；
（Ⅲ）從參加測(cè)試的20位學(xué)生中任意抽取2位，設(shè)運(yùn)動(dòng)協(xié)調(diào)能力或邏輯思維能力優(yōu)秀的學(xué)生人數(shù)為ξ，求隨機(jī)變量ξ的分布列及其數(shù)學(xué)期望Eξ．

Answer 1

考點(diǎn)：離散型隨機(jī)變量的期望與方差,離散型隨機(jī)變量及其分布列

專題：概率與統(tǒng)計(jì)

分析：（I）設(shè)事件A：從20位學(xué)生中隨機(jī)抽取一位，抽到運(yùn)動(dòng)協(xié)調(diào)能力或邏輯思維能力優(yōu)秀的學(xué)生．由題意可知，運(yùn)動(dòng)協(xié)調(diào)能力或邏輯思維能力優(yōu)秀的學(xué)生共有（6+a）人．由此能求出a=2．b=4．
（II）設(shè)事件B：從20人中任意抽取2人，至少有一位運(yùn)動(dòng)協(xié)調(diào)能力或邏輯思維能力優(yōu)秀的學(xué)生．由題意可知，至少有一項(xiàng)能力測(cè)試優(yōu)秀的學(xué)生共有8人．由此利用對(duì)立事件的概率計(jì)算公式能求出至少有一位運(yùn)動(dòng)協(xié)調(diào)能力或邏輯思維能力優(yōu)秀的學(xué)生的概率．
（III）ξ的可能取值為0，1，2．分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望．

解答： 解：（I）設(shè)事件A：從20位學(xué)生中隨機(jī)抽取一位，
抽到運(yùn)動(dòng)協(xié)調(diào)能力或邏輯思維能力優(yōu)秀的學(xué)生．
由題意可知，運(yùn)動(dòng)協(xié)調(diào)能力或邏輯思維能力優(yōu)秀的學(xué)生共有（6+a）人．
則P(A)=

6+a

20

=

2

5

．
解得a=2．所以b=4．（4分）
（II）設(shè)事件B：從20人中任意抽取2人，
至少有一位運(yùn)動(dòng)協(xié)調(diào)能力或邏輯思維能力優(yōu)秀的學(xué)生．
由題意可知，至少有一項(xiàng)能力測(cè)試優(yōu)秀的學(xué)生共有8人．
則P(B)=1-P(

.

B

)=1-

C 2 12

C 2 20

=

62

95

．（7分）
（III）ξ的可能取值為0，1，2．
20位學(xué)生中運(yùn)動(dòng)協(xié)調(diào)能力或邏輯思維能力優(yōu)秀的學(xué)生人數(shù)為8人．
所以P(ξ=0)=

C 2 12

C 2 20

=

33

95

，
P(ξ=1)=

C 1 12 C 1 8

C 2 20

=

48

95

，
P(ξ=2)=

C 2 8

C 2 20

=

14

95

．
所以ξ的分布列為

ξ	0	1	2
P	33 95	48 95	14 95

所以，Eξ=0×

33

95

+1×

48

95

+2×

14

95

=

76

95

=

4

5

（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查概率的求法，考查離散型隨機(jī)變量的期望的求法，是中檔題，在歷年高考中都是必考題型．