【題目】設(shè)棱錐M-ABCD的底面是正方形,且MA=MD,MA⊥AB.如果△AMD的面積為1,試求能夠放入這個棱錐的最大球的半徑.
【答案】
【解析】
如圖,因為AB⊥AD,AB⊥MA,所以,AB垂直于平面MAD,
由此知平面MAD垂直平面AC.
設(shè)E是AD的中點,F是BC的中點,則ME⊥AD,所以,ME垂直平面AC,ME⊥EF.
設(shè)球O是與平面MAD,AC,MBC都相切的球.
不失一般性,可設(shè)O在平面MEF上.于是O為△MEF的內(nèi)心.
設(shè)球O的半徑為r,則.
設(shè)AD=EF=a,因為,所以,
,
且當(dāng),即時,上式取等號,所以,當(dāng)AD=ME=時,
與三個面MAD,AC,MBC都相切的球的半徑最大,并且這個最大半徑為.
作OG⊥ME于G,易證OG//平面MAB,G到平面MAB的距離就是O到平面MAB的距離.
過G作MH⊥MA于H,則GH是G到平面MAB的距離.
,,
又,,
,
.
,
故O到平面MAB的距離大于球O的半徑r,同樣O到面MCD的距離也大于球O的半徑r,
故球O在棱錐M-ABCD內(nèi),并且不可能再大.
據(jù)此可得所求的最大球的半徑為.
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【題目】已知曲線M:的左、右頂點分別為A,B,設(shè)P是曲線M上的任意一點.
(1)當(dāng)P異于A,B時,記直線PA、PB的斜率分別為、則是否為定值,請說明理由.
(2)已知點C在曲線M長軸上(異于A、B兩點),且的最大值為7,求點C的坐標(biāo).
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【題目】定義:如果數(shù)列的任意連續(xù)三項均能構(gòu)成一個三角形的三邊長,則稱為三角形”數(shù)列對于“三角形”數(shù)列,如果函數(shù)使得仍為一個三角形”數(shù)列,則稱是數(shù)列的“保三角形函數(shù)”.
(1)已知是首項為2,公差為1的等差數(shù)列,若,是數(shù)列的保三角形函數(shù)”,求的取值范圍;
(2)已知數(shù)列的首項為2019,是數(shù)列的前項和,且滿足,證明是“三角形”數(shù)列;
(3)求證:函數(shù),是數(shù)列1,,的“保三角形函數(shù)”的充要條件是,.
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【題目】現(xiàn)對一塊邊長8米的正方形場地ABCD進(jìn)行改造,點E為線段BC的中點,點F在線段CD或AD上(異于A,C),設(shè)(米),的面積記為(平方米),其余部分面積記為(平方米).
(1)當(dāng)(米)時,求的值;
(2)求函數(shù)的最大值;
(3)該場地中部分改造費用為(萬元),其余部分改造費用為(萬元),記總的改造費用為W(萬元),求W取最小值時x的值.
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【題目】已知函數(shù)(a∈R).
(1)討論y=f(x)的單調(diào)性;
(2)若函數(shù)f(x)有兩個不同零點x1,x2,求實數(shù)a的范圍并證明.
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【題目】如圖,邊長為4的正方形中,半徑為1的動圓Q的圓心Q在邊CD和DA上移動(包含端點A,C,D),P是圓Q上及其內(nèi)部的動點,設(shè),則的取值范圍是_____________.
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【題目】已知,直線的方程為,直線 的方程為.當(dāng)m變化時,
(1)分別求直線和經(jīng)過的定點坐標(biāo);
(2)討論直線和的位置關(guān)系.
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【題目】在直角坐標(biāo)系中,曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù)).M是曲線上的動點,將線段OM繞O點順時針旋轉(zhuǎn)得到線段ON,設(shè)點N的軌跡為曲線.以坐標(biāo)原點O為極點,軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.
(1)求曲線的極坐標(biāo)方程;
(2)在(1)的條件下,若射線與曲線分別交于A, B兩點(除極點外),且有定點,求的面積.
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【題目】設(shè)函數(shù).
(1)討論函數(shù)的單調(diào)性;
(2)若當(dāng)時,恒成立,求實數(shù)的取值范圍.
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