Question

2．設(shè)等比數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，已知a_n+1=S_n+2（n∈N₊）．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）若b_n=$\frac{1}{lo{g}_{2}{a}_{n}•lo{g}_{2}{a}_{n+1}}$，求數(shù)列{b_n}前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

分析 （1）運(yùn)用數(shù)列的遞推式，結(jié)合等比數(shù)列，求得首項(xiàng)和公比，運(yùn)用通項(xiàng)公式即可得到所求；
（2）化簡可得b_n=$\frac{1}{lo{g}_{2}{a}_{n}•lo{g}_{2}{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$，再由數(shù)列的求和方法：裂項(xiàng)相消求和，化簡即可得到所求和．

解答 解：（1）由a_n+1=S_n+2（n∈N₊），
得a_n=S_n-1+2（n∈N₊，n＞1）．
兩式相減得：a_n+1-a_n=a_n，即a_n+1=2a_n（n≥2），
∵{a_n}是等比數(shù)列，所以a₂=2a₁，又a₂=a₁+2
 則a₁+2=2a₁，∴a₁=2，
∴a_n=2•2^n-1=2ⁿ．
（2）由（1）知a_n+1=2ⁿ⁺¹，a_n=2ⁿ，
∴b_n=$\frac{1}{lo{g}_{2}{a}_{n}•lo{g}_{2}{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$，
數(shù)列{b_n}前n項(xiàng)和T_n=1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$=1-$\frac{1}{n+1}$=$\frac{n}{n+1}$．

點(diǎn)評 本題考查等比數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法，考查數(shù)列的求和方法：裂項(xiàng)相消求和，考查化簡整理的運(yùn)算能力，屬于中檔題．