Question

12．已知二階矩陣M有特征值λ=8及其對應(yīng)的一個特征向量$\overrightarrow{{e}_{1}}$=$[\begin{array}{l}{1}\\{1}\end{array}]$，并且矩陣M對應(yīng)的變換將點(diǎn)A（-1，2）變換成A′（-2，4）．
（1）求矩陣M；
（2）設(shè)直線l在M^-1對應(yīng)的變換作用下得到了直線m：x-y=6，求l的方程．

Answer 1

分析 （1）利用待定系數(shù)法，建立方程組，即可求矩陣M；
（2）根據(jù)矩陣變換特點(diǎn)，寫出兩對坐標(biāo)之間的關(guān)系，把已知的點(diǎn)的坐標(biāo)代入得到直線的方程，得到結(jié)果．

解答 （1）設(shè)M=$[\begin{array}{l}{a}&\\{c}&j89hu4e\end{array}]$，則根據(jù)題意有$[\begin{array}{l}{a}&\\{c}&7kcmnku\end{array}]$$[\begin{array}{l}{1}\\{1}\end{array}]$=8$[\begin{array}{l}{1}\\{1}\end{array}]$，即$\left\{\begin{array}{l}{a+b=8}\\{c+d=8}\end{array}\right.$…（2分）
$[\begin{array}{l}{a}&\\{c}&vw9rr04\end{array}]$$[\begin{array}{l}{-1}\\{2}\end{array}]$=$[\begin{array}{l}{-2}\\{4}\end{array}]$，即$\left\{\begin{array}{l}{-a+2b=-2}\\{-c+2d=4}\end{array}\right.$…（4分）
聯(lián)立方程解得，M=$[\begin{array}{l}{6}&{2}\\{4}&{4}\end{array}]$，…（6分）
（2）因?yàn)橹本�l在M^-1對應(yīng)的變換作用下得到了直線m，
所以直線m在M對應(yīng)的變換作用下得到直線l．…（8分）
所以直線x+y-1=0在矩陣A對應(yīng)的變換作用下所得曲線的方程為直線x=3．
設(shè)點(diǎn)（x，y）為直線m上任意一點(diǎn)，其在M對應(yīng)變換作用下點(diǎn)為（x′，y′），
$[\begin{array}{l}{x′}\\{y′}\end{array}]$=$[\begin{array}{l}{6}&{2}\\{4}&{4}\end{array}]$$[\begin{array}{l}{x}\\{y}\end{array}]$，即$\left\{\begin{array}{l}{x′=6x+2y}\\{y′=4x+4y}\end{array}\right.$，…（10分）
所以$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{1}{4}x′-\frac{1}{8}y′}\\{y=-\frac{1}{4}x′+\frac{3}{8}y′}\end{array}\right.$…（12分）
代入得：x′-y′=12，所以l方程為直線x-y=12．…（14分）

點(diǎn)評 本題主要考查二階矩陣的變換，考查運(yùn)算求解能力，比較基礎(chǔ)．