Question

若動(dòng)直線x=a與函數(shù)f（x）=sinxcosx和g（x）=cos²x的圖象分別交于M，N兩點(diǎn)，則|MN|的最大值為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：二倍角的余弦,二倍角的正弦,三角函數(shù)的最值

專題：三角函數(shù)的求值,三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：首先化簡(jiǎn)f（x）、g（x），然后根據(jù)動(dòng)直線x=a與函數(shù)f（x）=sinxcosx和函數(shù)g（x）=cos²x的圖象分別交于A，B兩點(diǎn)，可得|AB|=|f（x）-g（x）|，將兩個(gè)函數(shù)的解析式代入化簡(jiǎn)為正弦型函數(shù)，再由正弦型函數(shù)的性質(zhì)即可得到結(jié)論．

解答： 解：f（x）=sinxcosx=

1

2

sin2x，g（x）=cos²x=

1

2

cos2x+

1

2

，
所以|AB|=|f（x）-g（x）|
=|

1

2

sin2x-（

1

2

cos2x+

1

2

）|
=

2

2

|sin（2x-

π

4

）-

2

2

|
則sin（2x-

π

4

）=-1時(shí)，
|AB|的最大值為：

2 +1

2

．
故答案為：

2 +1

2

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了三角函數(shù)的二倍角公式，正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，屬于中檔題．