Question

1．已知函數(shù)f（x）=asinx-$\sqrt{3}$cosx（a∈R）的圖象經過點（$\frac{π}{3}$，0）．
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）若x∈[$\frac{π}{2}$，$\frac{3π}{2}$]，求f（x）的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據(jù)函數(shù)f（x）的圖象過點$（\frac{π}{3}，0）$，代入函數(shù)解析式求出a的值，從而寫出函數(shù)解析式并求出最小正周期；
（Ⅱ）根據(jù)x的取值范圍，計算f（x）的最值，從而求出它的取值范圍．

解答 解：（Ⅰ）因為函數(shù)$f（x）=asinx-\sqrt{3}cosx$的圖象經過點$（\frac{π}{3}，0）$，
所以 $f（\frac{π}{3}）=\frac{{\sqrt{3}}}{2}a-\frac{{\sqrt{3}}}{2}=0$，
解得 a=1；   …（3分）
所以$f（x）=sinx-\sqrt{3}cosx=2sin（x-\frac{π}{3}）$，
所以f（x）最小正周期為T=2π；        …（6分）
（Ⅱ）因為$\frac{π}{2}≤x≤\frac{3π}{2}$，所以$\frac{π}{6}≤x-\frac{π}{3}≤\frac{7π}{6}$；
所以當$x-\frac{π}{3}=\frac{π}{2}$，即$x=\frac{5π}{6}$時，f（x）取得最大值，最大值是2；
當$x-\frac{π}{3}=\frac{7π}{6}$，即$x=\frac{3π}{2}$時，f（x）取得最小值，最小值是-1；
所以f（x）的取值范圍是[-1，2]．      …（13分）

點評 本題考查了用待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式以及求函數(shù)值域的應用問題，是基礎題目．