Question

9．若函數(shù)f（x）=k-$\frac{{{x^4}-3{x^2}}}{x}$有三個零點，則實數(shù)k的取值范圍是（-2，0）∪（0，2）．

Answer 1

分析 根據(jù)函數(shù)與零點的關(guān)系將函數(shù)轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)圖象的交點個數(shù)問題，利用數(shù)形結(jié)合進行求解即可．

解答 解：由f（x）=k-$\frac{{{x^4}-3{x^2}}}{x}$=0得k=$\frac{{{x^4}-3{x^2}}}{x}$，
設(shè)g（x）=$\frac{{{x^4}-3{x^2}}}{x}$，
若函數(shù)f（x）=k-$\frac{{{x^4}-3{x^2}}}{x}$有三個零點，
等價為y=k，和g（x）有三個交點，
g（x）=$\frac{{{x^4}-3{x^2}}}{x}$=x³-3x，（x≠0），
函數(shù)的導(dǎo)數(shù)g′（x）=3x²-3=3（x²-1），
由g′（x）＞0得x＞1或x＜-1，此時函數(shù)單調(diào)遞增，
由g′（x）＜0得-1＜x＜0或0＜x＜1，此時函數(shù)單調(diào)遞減，
即當(dāng)x=1時，函數(shù)取得極小值，g（1）=-2，
當(dāng)x=-1時，函數(shù)取得極大值，g（-1）=2，
要使y=k，和g（x）有三個交點，
則0＜k＜2或-2＜k＜0，
即實數(shù)k的取值范圍是（-2，0）∪（0，2），
故答案為：（-2，0）∪（0，2）

點評 本題主要考查函數(shù)與零點的應(yīng)用，根據(jù)函數(shù)與方程的關(guān)系轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)的圖象的交點問題，構(gòu)造函數(shù)，求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用數(shù)形結(jié)合是解決本題的關(guān)鍵．