Question

16．已知函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}x+1\begin{array}{l}，{\;\;x}\end{array}≤0，\\{log_2}x\begin{array}{l}，{x＞0，}\end{array}\end{array}$則函數(shù)g（x）=f（f（x））-$\frac{1}{2}$的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是（　�。�

• A． 4
• B． 3
• C． 2
• D． 1

Answer 1

分析 作出函數(shù)的圖象，先求出f（x）=$\frac{1}{2}$的根，然后利用數(shù)形結(jié)合轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)的交點(diǎn)個(gè)數(shù)即可．

解答 解：作出函數(shù)f（x）的圖象如圖：
當(dāng)x≤0時(shí)，由f（x）=$\frac{1}{2}$得x+1=$\frac{1}{2}$，即x=$\frac{1}{2}$-1=-$\frac{1}{2}$，
當(dāng)x＞0時(shí)，由f（x）=$\frac{1}{2}$得log₂x=$\frac{1}{2}$，即x=${2}^{\frac{1}{2}}$=$\sqrt{2}$，
由g（x）=f（f（x））-$\frac{1}{2}$=0得f（f（x））=$\frac{1}{2}$，
則f（x）=-$\frac{1}{2}$或f（x）=$\sqrt{2}$，
若f（x）=-$\frac{1}{2}$，此時(shí)方程f（x）=-$\frac{1}{2}$有兩個(gè)交點(diǎn)，
若f（x）=$\sqrt{2}$，此時(shí)方程f（x）=$\sqrt{2}$只有一個(gè)交點(diǎn)，
則數(shù)g（x）=f（f（x））-$\frac{1}{2}$的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是3個(gè)，
故選：B

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查函數(shù)與方程的應(yīng)用，利用函數(shù)與方程的關(guān)系將條件轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)的交點(diǎn)問(wèn)題是解決本題的關(guān)鍵．