Question

17．在數(shù)列{a_n}中，已知a₁=3，且數(shù)列{a_n+（-1）ⁿ}是公比為2的等比數(shù)列，對(duì)于任意的n∈N^*，不等式a₁+a₂+…+a_n≥λa_n+1恒成立，則實(shí)數(shù)λ的取值范圍是（　　）

• A． $（{-∞，\frac{2}{5}}]$
• B． $（{-∞，\frac{1}{2}}]$
• C． $（{-∞，\frac{2}{3}}]$
• D． （-∞，1]

Answer 1

分析 由等比數(shù)列通項(xiàng)公式得${a}_{n}+（-1）^{n}$=2ⁿ，從而${a}_{n}={2}^{n}-（-1）^{n}$，再由等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式得a₁+a₂+…+a_n=${2}^{n+1}-\frac{3}{2}-\frac{1}{2}×（-1）^{n}$，由此得到對(duì)于任意的n∈N^*，不等式a₁+a₂+…+a_n≥λa_n+1恒成立，等價(jià)于對(duì)于任意的n∈N^*，不等式λ≤$\frac{{2}^{n+1}-\frac{3}{2}-\frac{1}{2}×（-1）^{n}}{{2}^{n+1}-（-1）^{n+1}}$恒成立，由此能求出實(shí)數(shù)λ的取值范圍．

解答 解：∵在數(shù)列{a_n}中，已知a₁=3，且數(shù)列$\left\{{{a_n}+{{（{-1}）}^n}}\right\}$是公比為2的等比數(shù)列，
∴${a}_{n}+（-1）^{n}$=2ⁿ，
∴${a}_{n}={2}^{n}-（-1）^{n}$，
∴a₁+a₂+…+a_n=$\frac{2（1-{2}^{n}）}{1-2}$-$\frac{-1×[1-（-1）^{n}]}{1-（-1）}$=${2}^{n+1}-\frac{3}{2}-\frac{1}{2}×（-1）^{n}$，
∵對(duì)于任意的n∈N^*，不等式a₁+a₂+…+a_n≥λa_n+1恒成立，
∴對(duì)于任意的n∈N^*，不等式${2}^{n+1}-\frac{3}{2}-\frac{1}{2}×（-1）^{n}$≥λ[2ⁿ⁺¹-（-1）ⁿ⁺¹]恒成立，
∴對(duì)于任意的n∈N^*，不等式λ≤$\frac{{2}^{n+1}-\frac{3}{2}-\frac{1}{2}×（-1）^{n}}{{2}^{n+1}-（-1）^{n+1}}$恒成立，
當(dāng)n=1時(shí)，$\frac{{2}^{n+1}-\frac{3}{2}-\frac{1}{2}×（-1）^{n}}{{2}^{n+1}-（-1）^{n+1}}$取最大值$\frac{2}{3}$，
∴$λ≤\frac{2}{3}$．
∴實(shí)數(shù)λ的取值范圍是（-∞，$\frac{2}{3}$]．
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查實(shí)數(shù)的取值范圍的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意等比數(shù)列的性質(zhì)、等價(jià)轉(zhuǎn)化思想的合理運(yùn)用．