Question

【題目】對(duì)于數(shù)列，設(shè)表示數(shù)列前項(xiàng)， ， ， 中的最大項(xiàng)．?dāng)?shù)列滿足： ．

（）若，求的前項(xiàng)和．

（）設(shè)數(shù)列為等差數(shù)列，證明： 或者（為常數(shù)），， ， ， ．

（）設(shè)數(shù)列為等差數(shù)列，公差為，且．

記，

求證：數(shù)列是等差數(shù)列．

Answer 1

【答案】（1）；（2）證明見解析；（3）證明見解析．

【解析】試題分析：（1）由可得， ， ， ， ，從而可得結(jié)果；（2）設(shè)公差為，當(dāng)時(shí)， 單調(diào)遞減， （為常數(shù)），當(dāng)時(shí)， 單調(diào)遞增， ，∴或者（為常數(shù)）；（）求出， ， ，以此類推，

為常數(shù)，所以數(shù)列是等差數(shù)列.

試題解析：（）∵

，

當(dāng)時(shí)， 單調(diào)遞增，

∴，

，

，

當(dāng)時(shí)， 單調(diào)遞減，

∴，

，

，

∴．

（）∵是等差數(shù)列，設(shè)其公差為，

當(dāng)時(shí)， 單調(diào)遞減， （為常數(shù)），

當(dāng)時(shí)， 單調(diào)遞增， ，

∴或者（為常數(shù)），， ， ．

（）∵是等差數(shù)列， ，

∵，

，

∵， ，

∴，

∴，

同理，

以此類推，

為常數(shù)，

∴數(shù)列是等差數(shù)列．