Question

2．已知關(guān)于x的不等式2x+$\frac{1}{（x-a）^{2}}$≥7在x∈（a，+∞）上恒成立，則實(shí)數(shù)a的最小值為2．

Answer 1

分析 關(guān)于x的不等式2x+$\frac{1}{（x-a）^{2}}$≥7在x∈（a，+∞）上恒成立，令f（x）=2x+$\frac{1}{（x-a）^{2}}$，可得：f（x）_min=7，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性即可得出．

解答 解：關(guān)于x的不等式2x+$\frac{1}{（x-a）^{2}}$≥7在x∈（a，+∞）上恒成立，
令f（x）=2x+$\frac{1}{（x-a）^{2}}$，可得：f（x）_min=7，
則f′（x）=2-$\frac{2}{（x-a）^{3}}$=$\frac{2（x-a-1）[（x-a）^{2}+（x-a）+1]}{（x-a）^{3}}$，
當(dāng)且僅當(dāng)x=a+1時(shí)，f（x）取得最小值，f（a+1）=2a+3=7，解得a=2．
∴實(shí)數(shù)a的最小值為2．
故答案為：2．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值與最值、方程與不等式的解法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．