Question

4．已知平面向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$的夾角為$\frac{π}{3}$，且|$\overrightarrow{a}$|=1，|$\overrightarrow$|=$\frac{1}{2}$，則$\overrightarrow{a}$+2$\overrightarrow$與$\overrightarrow$的夾角是（　�。�

• A． $\frac{π}{6}$
• B． $\frac{5π}{6}$
• C． $\frac{π}{4}$
• D． $\frac{3π}{4}$

Answer 1

分析 結(jié)合題意設(shè)出$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$的坐標(biāo)，求出$\overrightarrow{a}$+2$\overrightarrow$的坐標(biāo)以及$\overrightarrow{a}$+2$\overrightarrow$的模，代入公式求出$\overrightarrow{a}$+2$\overrightarrow$與$\overrightarrow$的夾角余弦值即可求出角的度數(shù)．

解答 解：平面向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$的夾角為$\frac{π}{3}$，且|$\overrightarrow{a}$|=1，|$\overrightarrow$|=$\frac{1}{2}$，
不妨設(shè)$\overrightarrow{a}$=（1，0），$\overrightarrow$=（$\frac{1}{4}$，$\frac{\sqrt{3}}{4}$），
故$\overrightarrow{a}$+2$\overrightarrow$=（$\frac{3}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），|$\overrightarrow{a}$+2$\overrightarrow$|=$\sqrt{3}$，
（$\overrightarrow{a}$+2$\overrightarrow$）•$\overrightarrow$=$\frac{3}{2}$×$\frac{1}{4}$+$\frac{\sqrt{3}}{2}$×$\frac{\sqrt{3}}{4}$=$\frac{3}{4}$，
故cos＜$\overrightarrow{a}$+2$\overrightarrow$，$\overrightarrow$＞=$\frac{（\overrightarrow{a}+2\overrightarrow）•\overrightarrow}{|\overrightarrow{a}+2\overrightarrow|•|\overrightarrow|}$=$\frac{\frac{3}{4}}{\sqrt{3}•\frac{1}{2}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
故$\overrightarrow{a}$+2$\overrightarrow$與$\overrightarrow$的夾角是$\frac{π}{6}$，
故選：A．

點(diǎn)評 本題考查了平面向量數(shù)量積的運(yùn)算，考查向量夾角的余弦公式，是一道中檔題．