Question

20．若函數(shù)y=x²的圖象在點(diǎn)（2，4）處的切線與兩坐標(biāo)軸所圍成的三角形面積為$\frac{n}{2}$，則二項(xiàng)式（1-$\frac{n}{x}$）ⁿ的展開(kāi)式中$\frac{1}{{x}^{2}}$的系數(shù)為96．

Answer 1

分析 函數(shù)y=x²的圖象在點(diǎn)（2，4）處的切線方程，可得它與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，根據(jù)它與兩坐標(biāo)軸所圍成的三角形面積為 $\frac{1}{2}$•1•4=$\frac{n}{2}$，求得n的值，再利用二項(xiàng)式展開(kāi)式的通項(xiàng)公式求得展開(kāi)式中$\frac{1}{{x}^{2}}$的系數(shù)．

解答 解：函數(shù)y=x²的圖象在點(diǎn)（2，4）處的切線方程為y-4=4（x-2），即y=4x-4，它與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)為（1，0）、（0，4），
故它與兩坐標(biāo)軸所圍成的三角形面積為 $\frac{1}{2}$•1•4=$\frac{n}{2}$，∴n=4，
故二項(xiàng)式（1-$\frac{n}{x}$）ⁿ=（1-$\frac{4}{x}$）⁴的展開(kāi)式中$\frac{1}{{x}^{2}}$的系數(shù)為 ${C}_{4}^{2}$•4²=96，
故答案為：96．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查求曲線在某一點(diǎn)的切線方程，二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)，二項(xiàng)式展開(kāi)式的通項(xiàng)公式，屬于基礎(chǔ)題．