Question

5．已知函數f（x）=|x²-2x-3|，若a＜b＜1，且f（a）=f（b），則u=2a+b的最小值為（　　）

• A． -4
• B． 3-2$\sqrt{10}$
• C． 3-4$\sqrt{2}$
• D． -2

Answer 1

分析 畫出函數的圖象，判斷a，b的范圍，利用直線與圓的位置關系，通過相切求解最小值．

解答 解：由函數f（x）的圖象：
可知，a＜-1，-1＜b＜1，
且a²-2a-3=-b²+2b+3，即點P（a，b）滿足不等式組$\left\{{\begin{array}{l}{a＜-1}\\{-1＜b＜1}\\{{{（a-1）}^2}+{{（b-1）}^2}=8}\end{array}}\right.$，
此區(qū)域為以$A（-1，-1），B（-2\sqrt{2}+1，1）$為端點
且不含端點的圓弧，
直線u=2a+b與圓弧相切于點C，
則直線u=2a+b過點C時，
u有最小值，2$\sqrt{2}$=$\frac{|2+1-u|}{\sqrt{{2}^{2}+{1}^{2}}}$，（u＜0），
解得u=3-2$\sqrt{10}$．
最小值為：$3-2\sqrt{10}$．
故選：B．

點評 本題考查函數與方程的綜合應用，考查函數的圖象，直線與圓的位置關系，考查分析問題解決問題的能力．