Question

14．如圖，某機械廠要將長6m，寬2m的長方形鐵皮ABCD進(jìn)行裁剪．已知點F為AD的中點，點E在邊BC上，裁剪時先將四邊形CDFE沿直線EF翻折到MNFE處（點C，D分別落在直線BC下方點M，N處，F(xiàn)N交邊BC于點P），再沿直線PE裁剪．
（1）當(dāng)∠EFP=$\frac{π}{4}$時，試判斷四邊形MNPE的形狀，并求其面積；
（2）若使裁剪得到的四邊形MNPE面積最大，請給出裁剪方案，并說明理由．

Answer 1

分析 （1）當(dāng)∠EFP=$\frac{π}{4}$時，由條件得∠EFP=∠EFD=∠FEP=$\frac{π}{4}$．可得FN⊥BC，四邊形MNPE為矩形．即可得出．
（2）解法一：設(shè)$∠EFD=θ\;\;（0＜θ＜\frac{π}{2}）$，由條件，知∠EFP=∠EFD=∠FEP=θ．可得$PF=\frac{2}{sin（π-2θ）}=\frac{2}{sin2θ}$，$NP=NF-PF=3-\frac{2}{sin2θ}$，$ME=3-\frac{2}{tanθ}$．四邊形MNPE面積為$S=\frac{1}{2}（NP+ME）MN$=$\frac{1}{2}[{（3-\frac{2}{sin2θ}）+（3-\frac{2}{tanθ}）}]×2$=$6-\frac{2}{tanθ}-\frac{2}{sin2θ}$，化簡利用基本不等式的性質(zhì)即可得出．
解法二：設(shè)BE=tm，3＜t＜6，則ME=6-t．可得PE=PF，即$\sqrt{（3-BP{）^2}+{2^2}}=t-BP$．$BP=\frac{{13-{t^2}}}{2（3-t）}$，NP=3-T+$\frac{13-{t}^{2}}{2（3-t）}$，四邊形MNPE面積為$S=\frac{1}{2}（NP+ME）MN$=$\frac{1}{2}[{（3-t+\frac{{13-{t^2}}}{2（3-t）}）+（6-t）}]×2$=$6-[{\frac{3}{2}（t-3）+\frac{2}{t-3}}]$，利用基本不等式的性質(zhì)即可得出．

解答 解：（1）當(dāng)∠EFP=$\frac{π}{4}$時，由條件得∠EFP=∠EFD=∠FEP=$\frac{π}{4}$．
所以∠FPE=$\frac{π}{2}$．所以FN⊥BC，
四邊形MNPE為矩形．…3分
所以四邊形MNPE的面積S=PN•MN=2m²．…5分
（2）解法一：
設(shè)$∠EFD=θ\;\;（0＜θ＜\frac{π}{2}）$，由條件，知∠EFP=∠EFD=∠FEP=θ．
所以$PF=\frac{2}{sin（π-2θ）}=\frac{2}{sin2θ}$，$NP=NF-PF=3-\frac{2}{sin2θ}$，$ME=3-\frac{2}{tanθ}$． …8分
由$\left\{\begin{array}{l}3-\frac{2}{sin2θ}＞0\\ 3-\frac{2}{tanθ}＞0\\ 0＜θ＜\frac{π}{2}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}sin2θ＞\frac{2}{3}\\ tanθ＞\frac{2}{3}，\;\;\;\;\;\;\;\;\;（*）\\ 0＜θ＜\frac{π}{2}.\end{array}\right.$
所以四邊形MNPE面積為$S=\frac{1}{2}（NP+ME）MN$=$\frac{1}{2}[{（3-\frac{2}{sin2θ}）+（3-\frac{2}{tanθ}）}]×2$=$6-\frac{2}{tanθ}-\frac{2}{sin2θ}$=$6-\frac{2}{tanθ}-\frac{{2（{{sin}^2}θ+{{cos}^2}θ）}}{2sinθcosθ}$=$6-（tanθ+\frac{3}{tanθ}）$…12分
$≤6-2\sqrt{tanθ\frac{3}{tanθ}}=6-2\sqrt{3}$．
當(dāng)且僅當(dāng)$tanθ=\frac{3}{tanθ}$，即$tanθ=\sqrt{3}\;，θ=\frac{π}{3}$時取“=”．…14分
此時，（*）成立．
答：當(dāng)$∠EFD=\frac{π}{3}$時，沿直線PE裁剪，四邊形MNPE面積最大，
最大值為$6-2\sqrt{3}$m²．  …16分
解法二：
設(shè)BE=tm，3＜t＜6，則ME=6-t．
因為∠EFP=∠EFD=∠FEP，所以PE=PF，即$\sqrt{（3-BP{）^2}+{2^2}}=t-BP$．
所以$BP=\frac{{13-{t^2}}}{2（3-t）}$，$NP=3-PF=3-PE=3-（t-BP）=3-t+\frac{{13-{t^2}}}{2（3-t）}$．  …8分
由$\left\{\begin{array}{l}3＜t＜6\\ \frac{{13-{t^2}}}{2（3-t）}＞0\\ 3-t+\frac{{13-{t^2}}}{2（3-t）}＞0\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}3＜t＜6\\ t＞\sqrt{13}，\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;（*）\\{t^2}-12t+31＜0.\end{array}\right.$
所以四邊形MNPE面積為$S=\frac{1}{2}（NP+ME）MN$=$\frac{1}{2}[{（3-t+\frac{{13-{t^2}}}{2（3-t）}）+（6-t）}]×2$=$\frac{{3{t^2}-30t+67}}{2（3-t）}$…12分
=$6-[{\frac{3}{2}（t-3）+\frac{2}{t-3}}]$$≤6-2\sqrt{3}$．
當(dāng)且僅當(dāng)$\frac{3}{2}（t-3）=\frac{2}{t-3}$，即$t=3+\sqrt{\frac{4}{3}}\;=3+\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$時取“=”． …14分
此時，（*）成立．
答：當(dāng)點E距B點$3+\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$m時，沿直線PE裁剪，四邊形MNPE面積最大，
最大值為$6-2\sqrt{3}$m²．  …16分．

點評 本題考查了函數(shù)的性質(zhì)、矩形的面積計算公式、基本不等式的性質(zhì)、三角函數(shù)的單調(diào)性應(yīng)與求值，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．