Question

6．已知函數(shù)$f（x）=2（x-1）{e^x}+m（\frac{{3{x^2}}}{2}-\frac{3}{2}）$，m≤2e²．
（Ⅰ）當(dāng)$m=-\frac{1}{3}$時(shí)，求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）若x≥1時(shí)，有f（x）≥mx²lnx恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求得f（x），求導(dǎo)，根據(jù)函數(shù)單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，即可求得f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）構(gòu)造輔助函數(shù)，求導(dǎo)，m≤e時(shí)$u'（x）=\frac{{x{e^x}-m}}{x}≥0$恒成立，則由函數(shù)的單調(diào)性求得u（x）≥u（1）=e+m，根據(jù)m取取值范圍，求得g（x）的最小值，m＞e時(shí)，$u'（1）=\frac{{x{e^x}-m}}{x}＜0$，由函數(shù)的單調(diào)性可知：g（x）在[1，+∞）單調(diào)遞增，g（x）≥g（1）=0恒成立，即可求得m的取值范圍．

解答 解：（Ⅰ）當(dāng)$m=-\frac{1}{3}$時(shí)，f（x）=2（x-1）e^x-$\frac{1}{2}$x²+$\frac{1}{2}$，求導(dǎo)f'（x）=x（2e^x-1），--------（1分）
由f'（x）＞0，解得：x＜-ln2或x＞0，當(dāng)f'（x）＜0，解得：-ln2＜x＜0--------------（3分）
∴f（x）在（-∞，-ln2），（0，+∞）上單調(diào)增，在（-ln2，0）上單調(diào)減，
∴f（x）單調(diào)遞增區(qū)間（-∞，-ln2），（0，+∞），單調(diào)遞減區(qū)間（-ln2，0）；--------（4分）
（Ⅱ）g（x）=f（x）-mx²lnx，g'（x）=2x（e^x+m（1-lnx），
$u（x）={e^x}+m（1-lnx），u'（x）=\frac{{x{e^x}-m}}{x}$，--------------（5分）
（1）m≤e時(shí)$u'（x）=\frac{{x{e^x}-m}}{x}≥0$恒成立，
則u（x）=e^x+m（1-lnx）在x≥1上單調(diào)遞增，則u（x）≥u（1）=e+m------（6分）
?e+m≥0，則-e≤m≤e時(shí)，
u（x）≥0時(shí)，即g'（x）≥0，
∴g（x）在[1，+∞）單調(diào)遞增，g（x）≥g（1）=0恒成立，----------（7分）
?e+m＜0時(shí)，存在x₀∈（1，+∞），u（x₀）=0，
∴x∈（1，x₀）時(shí)，u（x）＜0，即g'（x）＜0，g（x）在（1，x₀）上單調(diào)減，
g（x）＜g（1）=0（舍去）---（9分）
（2）m＞e時(shí)，$u'（1）=\frac{{x{e^x}-m}}{x}＜0$，
存在x₁∈（1，+∞），使${x_1}{e^{x_1}}=m$，$e＜{x_1}{e^{x_1}}≤2{e^2}$，
∴1＜x₁≤2，又u（x）在（x₁，+∞）上增，在（1，x₁）上減，
∴x=x₁時(shí)u（x）有最小值$u（{x_1}）={e^{x_1}}+m（1-ln{x_1}）＞0$，則即g'（x）≥0，
∴g（x）在[1，+∞）單調(diào)遞增，g（x）≥g（1）=0恒成立----------------（11分）
綜上：-e≤m≤2e²----------（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，考查利用導(dǎo)數(shù)的函數(shù)的單調(diào)性及最值，考查分類討論思想，考查計(jì)算能力，屬于中檔題．