Question

8．已知等差數(shù)列{a_n}滿足a₃=3，a₆+a₈=14．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）求數(shù)列{2ⁿa_n}的前n項和S_n．

Answer 1

分析 （1）利用等差數(shù)列的通項公式即可得出．
（2）利用“錯位相減法”與等比數(shù)列求和公式即可得出．

解答 解：（1）設等差數(shù)列{a_n}的公差為d，∵a₃=3，a₆+a₈=14．
∴$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}+2d=3}\\{2{a}_{1}+12d=14}\end{array}\right.$，解得a₁=d=1．
∴a_n=n．
（2）2ⁿa_n=n•2ⁿ．
∴數(shù)列{2ⁿa_n}的前n項和S_n=2+2×2²+3×2³+…+n•2ⁿ，
2S_n=2²+2×2³+…+（n-1）•2ⁿ+n•2ⁿ⁺¹，
∴-S_n=2+2²+…+2ⁿ-n•2ⁿ⁺¹=$\frac{2（{2}^{n}-1）}{2-1}$-n•2ⁿ⁺¹，
∴${S_n}=（n-1）×{2^{n+1}}+2$．

點評 本題考查了“錯位相減法”、等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項公式與求和公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．