Question

12．如圖，拋物線C₁：y=b-x²經(jīng)過(guò)橢圓C₂：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的焦點(diǎn)及上頂點(diǎn)M，過(guò)點(diǎn)M的兩條互相垂直的直線l₁，l₂分別交拋物線于A，B兩點(diǎn)，交橢圓于D，E兩點(diǎn)，已知拋物線C₁：y=b-x²與x軸所圍成的區(qū)域面積為$\frac{4}{3}$．
（1）求C₁，C₂的方程；
（2）記△MAB，△MDE的面積分別為S₁，S₂，若$\frac{{S}_{1}}{{S}_{2}}$=$\frac{5}{8}$，求直線AB的方程．

Answer 1

分析 （1）求出拋物線與x軸的交點(diǎn)，由定積分公式計(jì)算可得b=1，再由拋物線經(jīng)過(guò)橢圓的焦點(diǎn)，可得c=1，求得a，即可得到C₁，C₂的方程；
（2）設(shè)直線MA的斜率為k₁，又M（0，1），直線MA的方程為y=k₁x+1與y=1-x²聯(lián)立，求得A的坐標(biāo)，同理可得B的坐標(biāo)，運(yùn)用三角形的面積公式可得S₁，再由y=k₁x+1與橢圓方程x²+2y²=2聯(lián)立，求得D的坐標(biāo)，同理可得E的坐標(biāo)，運(yùn)用三角形的面積公式可得S₂，相除可得k₁，k₂的關(guān)系式，解方程可得k₁²，注意k₁k₂=-1，求出直線AB的斜率，由點(diǎn)斜式方程可得直線AB的方程．

解答 解：（1）拋物線C₁：y=b-x²與x軸的交點(diǎn)為（-$\sqrt$，0），（$\sqrt$，0），
則拋物線C₁：y=b-x²與x軸所圍成的區(qū)域面積為${∫}_{-\sqrt}^{\sqrt}$（b-x²）dx
=（bx-$\frac{1}{3}$x³）|${\;}_{-\sqrt}^{\sqrt}$=b$\sqrt$-$\frac{1}{3}$b$\sqrt$+b$\sqrt$-$\frac{1}{3}$b$\sqrt$=$\frac{4}{3}$b$\sqrt$=$\frac{4}{3}$，
解得b=1，
由題意可得b-c²=0，即有c=1，a=$\sqrt{^{2}+{c}^{2}}$=$\sqrt{2}$，
則C₁的方程為y=1-x²；C₂的方程為$\frac{{x}^{2}}{2}$+y²=1；
（2）設(shè)直線MA的斜率為k₁，又M（0，1），
直線MA的方程為y=k₁x+1與y=1-x²聯(lián)立得x²+k₁x=0，
∴x=0或x=-k₁，∴A（-k₁，1-k₁²）
同理可得B（-k₂，1-k₂²），
∴S₁=$\frac{1}{2}$|MA||MB|=$\frac{1}{2}$$\sqrt{{{k}_{1}}^{2}+{{k}_{1}}^{4}}$•$\sqrt{{{k}_{2}}^{2}+{{k}_{2}}^{4}}$=$\frac{1}{2}$$\sqrt{1+{{k}_{1}}^{2}}$•$\sqrt{1+{{k}_{2}}^{2}}$•|k₁||k₂|；
y=k₁x+1與橢圓方程x²+2y²=2聯(lián)立，可得（1+2k₁²）x²+4k₁x=0，
解得x=0（舍去）或x=-$\frac{4{k}_{1}}{1+2{{k}_{1}}^{2}}$，
即D（-$\frac{4{k}_{1}}{1+2{{k}_{1}}^{2}}$，$\frac{1-2{{k}_{1}}^{2}}{1+2{{k}_{1}}^{2}}$），
同理可得E（-$\frac{4{k}_{2}}{1+2{{k}_{2}}^{2}}$，$\frac{1-2{{k}_{2}}^{2}}{1+2{{k}_{2}}^{2}}$），
∴S₂=$\frac{1}{2}$|MD||ME|=$\frac{1}{2}$$\sqrt{（\frac{4{k}_{1}}{1+2{{k}_{1}}^{2}}）^{2}+（\frac{4{{k}_{1}}^{2}}{1+2{{k}_{1}}^{2}}）^{2}}$•$\sqrt{（\frac{4{k}_{2}}{1+2{{k}_{2}}^{2}}）^{2}+（\frac{4{{k}_{2}}^{2}}{1+2{{k}_{2}}^{2}}）^{2}}$
=8|k₁||k₂|•$\frac{\sqrt{（1+{{k}_{1}}^{2}）（1+{{k}_{2}}^{2}）}}{（1+2{{k}_{1}}^{2}）（1+2{{k}_{2}}^{2}）}$，
由k₁k₂=-1，
可得$\frac{{S}_{1}}{{S}_{2}}$=$\frac{1}{16}$（1+2k₁²）（1+2k₂²）=$\frac{1}{16}$（1+4k₁²k₂²+2k₁²+2k₂²）=$\frac{1}{16}$（5+2k₁²+2k₂²）=$\frac{5}{8}$，
可得k₁²+k₂²=$\frac{5}{2}$，即有k₁²+$\frac{1}{{{k}_{1}}^{2}}$=$\frac{5}{2}$，
解得k₁²=2或$\frac{1}{2}$，
k_AB=$\frac{{{k}_{2}}^{2}-{{k}_{1}}^{2}}{{k}_{2}-{k}_{1}}$=k₁+k₂，
直線AB的方程為y-（1-k₁²）=（k₁+k₂）（x+k₁），
即為y-1+k₁²=（k₁+k₂）x+k₁²+k₁k₂，
即有y=（k₁+k₂）x，
則直線AB的方程為y=±$\frac{\sqrt{2}}{2}$x．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查直線與拋物線、橢圓的位置關(guān)系，考查三角形面積的計(jì)算，聯(lián)立方程，確定點(diǎn)的坐標(biāo)是關(guān)鍵．