Question

【題目】考慮下面兩個(gè)定義域?yàn)椋?/span>0，+∞）的函數(shù)f（x）的集合：對(duì)任何不同的兩個(gè)正數(shù)，都有，=對(duì)任何不同的兩個(gè)正數(shù)，都有

（1）已知，若，且，求實(shí)數(shù)和的取值范圍

（2）已知，且的部分函數(shù)值由下表給出：

比較與4的大小關(guān)系

（3）對(duì)于定義域?yàn)?/span>的函數(shù)，若存在常數(shù)，使得不等式對(duì)任何都成立，則稱為的上界，將中所有存在上界的函數(shù)組成的集合記作，判斷是否存在常數(shù)，使得對(duì)任何和，都有，若存在，求出的最小值，若不存在，說明理由

Answer 1

【答案】（1）當(dāng)a≥0，b＜0時(shí)，f（x）∈Ω1且f（x）Ω2；（2）2d+t＜4；（3）0．

【解析】

（1）根據(jù)：f（x）∈Ω1且f（x）Ω2，可利用二次函數(shù)的單調(diào)性可得a的范圍，利用導(dǎo)數(shù)求出b的范圍．

（2）由f（x）∈Ω1，取0＜x1＜x2＜x1+x2，可得．由表格可知：f（a）＝d，f（b）＝d，f（c）＝t，f（a+b+c）＝4，0＜a＜b＜c＜a+b+c，利用函數(shù)為增函數(shù)可得，再利用不等式的性質(zhì)即可得出．

（3）根據(jù)增函數(shù)先證明f（x）≤0對(duì)x∈（0，+∞）成立．再證明f（x）＝0在（0，+∞）上無解．即可得出．

（1）由：對(duì)任何不同的兩個(gè)正數(shù)，都有，=對(duì)任何不同的兩個(gè)正數(shù)，都有，

可得函數(shù)y，y在（0，+∞）為增函數(shù)，

y2x2+2ax+b，若f（x）∈Ω1，則0，即a≥0

y2x+a，

y′＝2，

當(dāng)b≥0，x＞0時(shí)，y′＞0，此時(shí)f（x）∈Ω2，不符合題意，舍去；

當(dāng)b＜0時(shí)，令y′＝0，解得x，此時(shí)函數(shù)在x∈（0，+∞）有極值點(diǎn)，因此f（x）Ω2．

綜上可得：當(dāng)b＜0時(shí)，f（x）∈/span>Ω1且f（x）Ω2．

（2）由f（x）∈Ω1，若取0＜x1＜x2，

則．

由表格可知：f（a）＝d，f（b）＝d，f（c）＝t，f（a+b+c）＝4，

∵0＜a＜b＜c＜a+b+c，

∴，

∴d＜0，d，d，t，

∴2d+t=4.

（3）∵對(duì)任何f（x）∈T和x∈（0，+∞），都有f（x）＜M，

先證明f（x）≤0對(duì)x∈（0，+∞）成立．

假設(shè)存在x0∈（0，+∞），使得f（x0）＞0，

記m＞0

∵y是增函數(shù)．

∴當(dāng)x＞x0時(shí)，m＞0，

∴f（x）＞mx2，

∴一定可以找到一個(gè)x1＞x0，使得f（x1）＞mx12＞k，

這與f（x）＜k 對(duì)x∈（0，+∞）成立矛盾．

即f（x）≤0對(duì)x∈（0，+∞）成立．

∴存在f（x）∈T，f（x）≤0對(duì)x∈（0，+∞）成立．

下面證明f（x）＝0在（0，+∞）上無解．

假設(shè)存在x2＞0，使得f（x2）＝0，

∵y是增函數(shù)．

一定存在x3＞x2＞0，使0，這與上面證明的結(jié)果矛盾．

∴f（x）＝0在（0，+∞）上無解．

綜上，我們得到存在f（x）∈T，f（x）＜0對(duì)x∈（0，+∞）成立．

∴存在常數(shù)M≥0，使得存在f（x）∈T，x∈（0，+∞），有f（x）＜M成立．

又令f（x）（x＞0），則f（x）＜0對(duì)x∈（0，+∞）成立，

又有在（0，+∞）上是增函數(shù)，

∴f（x）∈T，

而任取常數(shù)k＜0，總可以找到一個(gè)xn＞0，使得x＞xn時(shí)，有f（x）＞k．

∴M的最小值為0．