Question

10．（1）若x＞-1，求y=$\frac{{{x^2}+7x+10}}{x+1}$的最小值；
（2）若a，b，c都是正數(shù)，且a+b+c=1，求證（1-a）（1-b）（1-c）≥8abc．

Answer 1

分析 （1）x＞-1，可得x+1＞0．變形為函數(shù)y=（x+1）+$\frac{4}{x+1}$+5，利用基本不等式的性質(zhì)即可得出．
（2）根據(jù)已知條件知：1-a=b+c≥2$\sqrt{bc}$；“=成立b=c”
1-b=a+c≥2$\sqrt{ac}$時(shí)取“=成立a=c“；
1-c=a+b$≥2\sqrt{ab}$時(shí)取“=成立a=b“；
所以這三個(gè)不等式兩邊同時(shí)相乘就可以得到要證的結(jié)論

解答 解：（1）∵x＞-1，∴x+1＞0．
∴函數(shù)y=$\frac{（x+1）^{2}+5（x+1）+4}{x+1}$=（x+1）+$\frac{4}{x+1}$+5≥2$\sqrt{（x+1）（\frac{4}{x+1}）}$+5+5=4+5=9，
當(dāng)且僅當(dāng)x+1=2，即x=1時(shí)取等號(hào)．
∴函數(shù)y=$\frac{{{x^2}+7x+10}}{x+1}$的最小值；
（x＞-1）的最小值為9；
（2）證明：∵a+b+c=1，a，b，c都是正數(shù)；
∴1-a=b+c≥2$\sqrt{bc}$；“=成立b=c”
1-b=a+c≥2$\sqrt{ac}$時(shí)取“=成立a=c“；
1-c=a+b$≥2\sqrt{ab}$時(shí)取“=成立a=b“；
∴（1-a）（1-b）（1-c）≥8abc，a=b=c時(shí)取“=成立a=b=c=$\frac{1}{3}$“；

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的最小值、基本不等式的性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題