【題目】設(shè)橢圓E: + =1(a>0)的焦點(diǎn)在x軸上.
(Ⅰ)若橢圓E的離心率e= a,求橢圓E的方程;
(Ⅱ)設(shè)F1、F2分別是橢圓E的左、右焦點(diǎn),P為直線x+y=2 與橢圓E的一個(gè)公共點(diǎn),直線F2P交y軸于點(diǎn)Q,連結(jié)F1P,問當(dāng)a變化時(shí), 的夾角是否為定值,若是定值,求出該定值,若不是定值,說明理由.

【答案】解:(Ⅰ)由題知c2=a2﹣(8﹣a2)=2a2﹣8,由
a4﹣25a2+100=0,故a2=5或20(舍),故橢圓E的方程為 ;
(Ⅱ)設(shè)P(x0 , y0),F(xiàn)1(﹣c,0),F(xiàn)2(c,0),則c2=2a2﹣8,
聯(lián)立 得8x2﹣4 x+a4=0,
即(2 ﹣a22 , 故 ,
直線PF2的方程為 ,令x=0,則 ,即點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(0, ),

=
的夾角為定值
【解析】(Ⅰ)由題知c2=a2﹣(8﹣a2)=2a2﹣8,由 得a4﹣25a2+100=0,可得a2;(Ⅱ)設(shè)P(x0 , y0),F(xiàn)1(﹣c,0),F(xiàn)2(c,0),則c2=2a2﹣8,聯(lián)立 得點(diǎn)P坐標(biāo),寫出直線PF2的方程求出點(diǎn)Q的坐標(biāo).由 = ,可得 的夾角
【考點(diǎn)精析】關(guān)于本題考查的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,需要了解橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程焦點(diǎn)在x軸:,焦點(diǎn)在y軸:才能得出正確答案.

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