Question

8．如圖，在Rt△ABC中，直角A的角平分線AD的延長線交它的外接圓于點E，AD=1.6，AE=3．
（1）證明：△ABE∽△ADC；
（2）求△ABC的面積．

Answer 1

分析 （1）要判斷兩個三角形相似，可以根據(jù)三角形相似判定定理進(jìn)行證明，但注意觀察已知條件中給出的是角的關(guān)系，故采用判定定理1更合適，故需要再找到一組對應(yīng)角相等，由圓周角定理，易得滿足條件的角．
（2）根據(jù)（1）的結(jié)論，我們可得三角形對應(yīng)成比例，由此△ABC的面積S=$\frac{1}{2}$AB•AC=$\frac{1}{2}$AD•AE，即可得出結(jié)論．

解答 （1）證明：由已知△ABC的角平分線為AD，
可得∠BAE=∠CAD
因為∠AEB與∠ACB是同弧上的圓周角，
所以∠AEB=∠ACD
故△ABE∽△ADC．
（2）解：因為△ABE∽△ADC，
所以$\frac{AB}{AE}=\frac{AD}{AC}$，
即AB•AC=AD•AE．
又AD=1.6，AE=3，所以S=$\frac{1}{2}$AB•AC=$\frac{1}{2}$AD•AE=2.4，

點評 相似三角形有三個判定定理：判定定理1：兩角對應(yīng)相等的兩個三角形相似； 判定定理2：三邊對應(yīng)成比例的兩個三角形相似；判定定理3：兩邊對應(yīng)成比例，并且夾角相等的兩個三角形相似．在證明三角形相似時，要根據(jù)已知條件選擇適當(dāng)?shù)亩ɡ恚?/p>