Question

18．已知過T（3，-2）的直線l與拋物線y²=4x交于P，Q兩點(diǎn)，點(diǎn)A（1，2）
（1）若直線l的斜率為1，求弦PQ的長
（2）證明直線AP與直線AQ的斜率乘積恒為定值，并求出該定值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)弦長公式即可求出答案，
（2）分斜率存在和不存在兩種情況，根據(jù)韋達(dá)定理和直線的斜率的定義即可求出定值．

解答 解：（1）由已知得，直線l的方程為y+2=x-3即y=x-5
聯(lián)立方程，$\left\{\begin{array}{l}y=x-5\\{y^2}=4x\end{array}\right.$化簡(jiǎn)求解知x²-14x+25=0
設(shè)P（x₁，y₁）Q（x₂，y₂）所以x₁+x₂=14x₁x₂=25
所以$|PQ|=\sqrt{1+1}\sqrt{{{14}^2}-4×25}=8\sqrt{3}$
（2）當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)斜率為k的方程為y+2=k（x-3）
聯(lián)立方程，$\left\{\begin{array}{l}y=kx-3k-2\\{y^2}=4x\end{array}\right.$化簡(jiǎn)的k²x²-（6k²+4k+4）x+9k²+12k+4=0
設(shè)P（x₁，y₁）Q（x₂，y₂）
所以     ${x_1}+{x_2}=\frac{{6{k^2}+4k+4}}{k^2}$${x_1}{x_2}=\frac{{9{k^2}+12k+4}}{k^2}$
同理知    ${y_1}+{y_2}=\frac{4}{k}$${y_1}•{y_2}=\frac{-12k-8}{k}$
所以直線AP與直線AQ的斜率乘積為$m=\frac{{{y_1}-2}}{{{x_1}-1}}•\frac{{{y_2}-2}}{{{x_2}-1}}=\frac{{{y_1}{y_2}-2（{y_1}+{y_2}）+4}}{{{x_1}{x_2}-（{x_1}+{x_2}）+1}}$
所以m=-2
當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，l的方程為x=3聯(lián)立 $\left\{\begin{array}{l}x=3\\{y^2}=4x\end{array}\right.$$P（3\;，\;2\sqrt{3}）$$Q（3\;，\;-2\sqrt{3}）$，
所以直線AP與直線AQ的斜率乘積為$m=\frac{{2\sqrt{3}-2}}{3-1}•\frac{{-2\sqrt{3}-2}}{3-1}=-2$
證明直線AP與直線AQ的斜率乘積恒為定值，該定值為-2．

點(diǎn)評(píng) 本題考查弦長公式，考查兩直線的位置關(guān)系，是中檔題，解題時(shí)要注意弦長公式的合理運(yùn)用．