Question

9．已知函數(shù)$f（x）=a（x-\frac{1}{x}）-2lnx$，a∈R．
（1）若a=1，判斷函數(shù)f（x）是否存在極值，若存在，求出極值；若不存在，說明理由；
（2）設(shè)函數(shù)$g（x）=-\frac{a}{x}$．若至少存在一個(gè)x₀∈[1，e]，使得f（x₀）＞g（x₀）成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出當(dāng)a=1時(shí)，f（x）的導(dǎo)數(shù)，判斷符號(hào)，進(jìn)而得到是否存在極值；
（2）存在一個(gè)x₀∈[1，e]使得f（x₀）＞g（x₀），則ax₀＞2lnx₀，等價(jià)于a＞$\frac{2ln{x}_{0}}{{x}_{0}}$，令F（x）=$\frac{2lnx}{{x}^{\;}}$，等價(jià)于“當(dāng)x∈[1，e]時(shí)，a＞F（x）_min”．

解答 解：（Ⅰ）當(dāng)a=1時(shí)，f（x）=x-$\frac{1}{x}$-2lnx，x＞0，
f′（x）=1+$\frac{1}{{x}^{2}}-\frac{2}{x}$=$\frac{（x-1）^{2}}{{x}^{2}}$≥0．
即有f（x）在（0，+∞）遞增，函數(shù)f（x）不存在極值；
（2）因?yàn)榇嬖谝粋�(gè)x₀∈[1，e]使得f（x₀）＞g（x₀），
則ax₀＞2lnx₀，等價(jià)于a＞$\frac{2ln{x}_{0}}{{x}_{0}}$，
令F（x）=$\frac{2lnx}{{x}^{\;}}$，等價(jià)于“當(dāng)x∈[1，e]時(shí)，a＞F（x）_min”．
得F′（x）=$\frac{2（1-lnx）}{{x}^{2}}$
可得到當(dāng)x∈[1，e]時(shí)，F(xiàn)′（x）≥0，所以F（x）在[1，e]上單調(diào)遞增．
當(dāng)所以F（x）_min=F（1）=0，因此a＞0．
∴實(shí)數(shù)a的取值范圍為（0，+∞）．

點(diǎn)評(píng) 題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義、導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性及求函數(shù)的最值問題，考查學(xué)生分析問題解決問題的能力，對(duì)于“能成立”問題及“恒成立”問題往往轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值解決．屬于中檔題．