Question

20．已知函數(shù)f（x）=2x³+ax²+b在點M（1，3）處的切線與直線x-6y-3=0垂直．
（1）求a，b的值；
（2）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間和極值．

Answer 1

分析 （1）求出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，利用f（1）=3，f′（1）=-6聯(lián)立方程組求解a，b的值；
（2）對函數(shù)求導(dǎo)，寫出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)等于0的x的值，列表表示出在各個區(qū)間上的導(dǎo)函數(shù)和函數(shù)的單調(diào)性情況，求出極值

解答 解：（1）f′（x）=6x^2₊₂ax．依題意可得f（1）=3，f′（1）=-6，
∴$\left\{\begin{array}{l}{2+a+b=3}\\{6+2a=-6}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-6}\\{b=7}\end{array}\right.$；
（2）由（1）得f（x）=2x³-6x²+7，f′（x）=6x²-12x=6x（x-2）
x，f（x），f′（x）變化如下：
 

x	（-∞，0）	0	（0，2）	2	（2，+∞）
f′（x）	+	0	-	0	+
f（x）	遞增	極大值	遞減	極小值	遞增

∴所以函數(shù)f（x）的遞增區(qū)間為（-∞，0），（2，+∞），遞減區(qū)間為（0，2）
極大值為f（x）_極大值=f（0）=7，極小值為f（x）_極小值=f（2）=-1．

點評 本題考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義、利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點切線方程、考查函數(shù)的單調(diào)性等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力．屬于中檔題．