Question

已知函數(shù)f（x）=e^x-e^-x，其中e是自然對數(shù)的底數(shù)
（1）判斷函數(shù)f（x）在定義域R上的奇偶性，并證明；
（2）若關于x的不等式f（x）≥me^x在[-1，1]上恒成立，求實數(shù)m的取值范圍；
（3）已知正數(shù)a滿足：存在x₀∈[1，2]，使得e^x₀f（x₀）＜a成立，試判斷l(xiāng)og_a（-2t²+2t）的值的正負號，其中t∈（0，1）

Answer 1

考點：函數(shù)恒成立問題,函數(shù)奇偶性的判斷

專題：函數(shù)的性質及應用

分析：（1）根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義即可判斷函數(shù)f（x）在定義域R上的奇偶性；
（2）根據(jù)不等式恒成立，利用參數(shù)分離法進行轉化即可得到結論．
（3）利用換元法，結合對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性的性質即可得到結論．

解答： 解：（1）函數(shù)的定義域為R．
則f（-x）=e^-x-e^x=-（e^x-e^-x）=-f（x），
則函數(shù)f（x）在定義域R上的為減函數(shù)；
（2）若關于x的不等式f（x）≥me^x在[-1，1]上恒成立，
則e^x-e^-x≥me^x在[-1，1]上恒成立，
即m≤1-e^-2x=1-(

1

e2

)x在[-1，1]上恒成立，
設g（x）=1-(

1

e2

)x，則g（x）在[-1，1]上遞增，
則當x=-1時，函數(shù)g（x）最小為g（-1）=1-e²，
則m≤1-e²，
即實數(shù)m的取值范圍是（-∞，1-e²]；
（3）當x∈[1，2]，則e^x∈[e，e²]，
設u=e^x，則e^xf（x）=u（u-

1

u

）＜a，u∈[e，e²]，
即a＞u²-1恒成立，最大值為（e²）²-1=e⁴-1，
∴a＞e⁴-1，
故a＞1，log_a（-2t²+2t）=log_a[-2（t-

1

2

）²+

1

2

]，t∈（0，1），
則g（t）=-2（t-

1

2

）²+

1

2

在t=

1

2

時取得最大值為

1

2

，
∴l(xiāng)og_ag（t）的最大值為log_a

1

2

＜0，
故log_a（-2t²+2t）＜0．

點評：本題主要考查函數(shù)恒成立問題，綜合考查了對數(shù)函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性的應用，利用換元法是解決本題的關鍵．