Question

成都七中為綠化環(huán)境，移栽了銀杏樹2棵，梧桐樹3棵．它們移栽后的成活率分別為

2

3

，

1

2

且每棵樹是否存活互不影響，求移栽的5棵樹中：
（1）銀杏樹都成活且梧桐樹成活2棵的概率；
（2）成活的棵樹ξ的分布列與期望．

Answer 1

考點：離散型隨機變量的期望與方差

專題：概率與統(tǒng)計

分析：（1）設(shè)A表示“銀杏樹都成活且梧桐樹成活2棵”，A_i（i=0，1，2）表示“銀杏樹成活i棵”，B_k（k=0，1，2，3）表示“梧桐樹成活k棵”，由P（A）=P（A₂）P（B₂），由此能求出結(jié)果．
（2）由題意知ξ可能的取值：0，1，2，3，4，5，分別求出相對應(yīng)的概率值，由此能求出成活的棵樹ξ的分布列與期望．

解答： 解：（1）設(shè)A表示“銀杏樹都成活且梧桐樹成活2棵”
設(shè)A_i（i=0，1，2）表示“銀杏樹成活i棵”，
由題意知：P(A0)=

1

9

，
P(A1)=

4

9

，
P(A2)=

4

9

，
設(shè)B_k（k=0，1，2，3）表示“梧桐樹成活k棵”，
由題意知：P(B0)=

1

8

，
P(B1)=

3

8

，P(B2)=

3

8

，
P(B3)=

1

8

，…（3分）
∴P(A)=P(A2)•P(B2)=

3

18

=

1

6

．…（5分）
（2）由題意知ξ可能的取值：0，1，2，3，4，5，
P(ξ=0)=P(A0)P(B0)=

1

72

，
同理：P(ξ=1)=

7

72

，P(ξ=2)=

19

72

，
P(ξ=3)=

25

72

，P(ξ=4)=

2

9

，P(ξ=5)=

1

18

，…（7分）
∴ξ的分布列為：

ξ	0	1	2	3	4	5
P	1 72	7 72	19 72	25 72	2 9	1 18

…（10分）
∴Eξ=

17

6

…（12分）

點評：本題考查概率的求法，考查離散型隨機變量的分布列和數(shù)學(xué)期望的求法，是歷年高考的必考題型之一，解題時要注意排列組合知識的靈活運用，是中檔題．