Question

已知橢圓C的中心在坐標原點，焦點在x軸上，它的一個頂點B的坐標為（0，1），離心率為

2

2

．直線l與橢圓C交于M，N兩點．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）若橢圓C的右焦點F恰好為△BMN的垂心，求直線l的方程．

Answer 1

考點：橢圓的應(yīng)用

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（Ⅰ）根據(jù)頂點B的坐標為（0，1），求出b，利用離心率為

2

2

，求出a，從而可求橢圓C的方程；
（Ⅱ）設(shè)直線的方程與橢圓方程聯(lián)立，利用韋達定理結(jié)合向量知識，即可求得結(jié)論．

解答： 解：（Ⅰ）設(shè)橢圓C的方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，則由題意知b=1．
所以

c2

a2

=

a2-b2

a2

=

1

2

，解得a²=2．
所以橢圓C的方程為

x2

2

+y2=1．   …（4分）
（Ⅱ）由題意，直線BF的斜率為-1，從而直線l的斜率為1．
設(shè)直線的方程為y=x+m，M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），F(xiàn)（1，0），
由

x2 2 +y2=1 ，  y=x+m ，

得3x²+4mx+2（m²-1）=0．
根據(jù)韋達定理，x1+x2=-

4

3

m，x1x2=

2m2-2

3

．
于是

NF

•

BM

=(1-x2)x1-y2(y1-1)=x₁+y₂-x₁x₂-y₁y₂=x₁+x₂+m-x₁x₂-（x₁+m）（x₂+m）
=-2x1x2+(1-m)(x1+x2)+m-m2=-2•

2m2-2

3

+(1-m)(-

4m

3

)+m-m2=0
解之得m=1或m=-

4

3

．
當(dāng)m=1時，點B即為直線l與橢圓的交點，不合題意；
當(dāng)m=-

4

3

時，經(jīng)檢驗知l和橢圓相交，符合題意．
所以，當(dāng)且僅當(dāng)直線l的方程為y=x-

4

3

時，點F是△BMN的垂心．…（10分）

點評：本題以橢圓的幾何性質(zhì)為載體，考查橢圓的標準方程，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，關(guān)鍵是聯(lián)立方程，利用韋達定理求解．