Question

15．已知函數(shù)f（x）=（x-1）-alnx（x＞0）．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間和極值；
（Ⅱ）若f（x）≥0對(duì)x∈[1，+∞）上恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）正確求得函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)是關(guān)鍵，再求得導(dǎo)函數(shù)后，利用f'（x）＞0，解自變量的取值范圍時(shí)要對(duì)參數(shù)a進(jìn)行討論，很明顯由f′（x）以及x＞0，可分a≤0和a＞0來討論得解．
（Ⅱ）由f（x）≥0對(duì)x∈[1，+∞）上恒成立可分a≤1和a＞1來討論轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最小值大于等于0的問題來求解．

解答 解：（Ⅰ）f′（x）=1-$\frac{a}{x}$=$\frac{x-a}{x}$（x＞0）（1分）
當(dāng)a≤0時(shí)，f'（x）＞0，
f（x）在（0，+∞）上為增函數(shù)，無極值          （2分）
當(dāng)a＞0時(shí)，f′（x）=$\frac{x-a}{x}$=0，x=a，
f（x）在（0，a）上為減函數(shù)，在（a，+∞）上為增函數(shù)        （2分）
有極小值f（a）=（a-1）-alna，無極大值（1分）
（Ⅱ）f′（x）=1-$\frac{a}{x}$=$\frac{x-a}{x}$，
當(dāng)a≤1時(shí)，f'（x）≥0在[1，+∞）上恒成立，則f（x）是單調(diào)遞增的，
則f（x）≥f（1）=0恒成立，則a≤1（13分）
當(dāng)a＞1時(shí)，在（1，a）上單調(diào)遞減，在（a，+∞）上單調(diào)遞增，
所以x∈（1，a）時(shí)，f（x）≤f（1）=0這與f（x）≥0恒成立矛盾，故不成立（3分）
綜上：a≤1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)以及利用到輸球函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值問題；考查了利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)討論含參數(shù)不等式的恒成立問題，求參數(shù)的取值范圍，主要轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題利用導(dǎo)數(shù)這一工具來求解．