Question

10．已知橢圓$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$（a＞b＞0）的離心率$e=\frac{{\sqrt{6}}}{3}$，直線AB分別交橢圓下頂點(diǎn)A（0，-1）和右頂點(diǎn)B．         
（1）求橢圓的方程；
（2）已知定點(diǎn)E（-1，0），若直線y=kx+2（k≠0）與橢圓交于C、D兩點(diǎn)．問：是否存在k的值，使以CD為直徑的圓過E點(diǎn)？請說明理由．

Answer 1

分析 （1）由b=1，利用橢圓的離心率公式e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{1-\frac{^{2}}{{a}^{2}}}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，求得a，即可求得橢圓的方程；
（2）將直線方程，代入橢圓方程，由$\overrightarrow{EC}$•$\overrightarrow{ED}$=0，則根據(jù)韋達(dá)定理及向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，即可求得k的值．

解答 解：（1）由橢圓的焦點(diǎn)在x軸上，橢圓的下頂點(diǎn)（0，-1）則b=1，
由離心率e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{1-\frac{^{2}}{{a}^{2}}}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，則a=$\sqrt{3}$
∴橢圓的方程為$\frac{{x}^{2}}{3}+{y}^{2}=1$；
（2）假設(shè)存在存在k的值，使以CD為直徑的圓過E點(diǎn)，
$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+2}\\{\frac{{x}^{2}}{3}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，得（1+3k²）x²+12kx+9=0．
∴△=（12k）²-36（1+3k²）＞0…①，
設(shè)C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），
x₁+x₂=-$\frac{12k}{1+3{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{9}{1+3{k}^{2}}$，
若以CD為直徑的圓過E點(diǎn)，則$\overrightarrow{EC}$•$\overrightarrow{ED}$=0，即（x₁+1）（x₂+1）+y₁y₂=0，
而y₁y₂=（kx₁+2）（kx₂+2）=k²x₁x₂+2k（x₁+x₂）+4，
代入上式得，化為（k²+1）x₁x₂+（2k+1）（x₁+x₂）+5=0．
∴（k²+1）$\frac{9}{1+3{k}^{2}}$+（2k+1）（-$\frac{12k}{1+3{k}^{2}}$）+5=0，
解得k=$\frac{7}{6}$，滿足k²＞1．
∴存在k=$\frac{7}{6}$，使得以線段CD為直徑的圓過E點(diǎn)．

點(diǎn)評 本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，直線與橢圓的位置關(guān)系，考查韋達(dá)定理，向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，考查計算能力，屬于中檔題．