Question

已知數(shù)列{a_n}是首項(xiàng)為a₁=

1

4

，公比q=

1

4

的等比數(shù)列，設(shè)b_n+2=3log 

1

4

a_n（∈N^*），數(shù)列{c_n}滿足c_n=a_n•b_n．
（1）求證：{b_n}是等差數(shù)列；
（2）求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和S_n；
（3）（理科）求數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由已知得a_n=

1

4n

，從而b_n=3n-2，由此能證明{b_n}是首項(xiàng)為1，公差為3的等差數(shù)列．
（2）由{b_n}是首項(xiàng)為1，公差為3的等差數(shù)列，能求出數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和S_n．
（3）由c_n=a_n•b_n=（3n-2）•

1

4n

，利用錯(cuò)位相減法能求出數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和T_n．

解答： （1）證明：∵數(shù)列{a_n}是首項(xiàng)為a₁=

1

4

，公比q=

1

4

的等比數(shù)列，
∴a_n=

1

4n

，
∴b_n+2=3log 

1

4

a_n=3log

1

4

1

4n

=3n，
∴b_n=3n-2，
∴b_n-b_n-1=（3n-2）-[3（n-1）-2]=3，b₁=3-2=1，
∴{b_n}是首項(xiàng)為1，公差為3的等差數(shù)列．
（2）解：由（1）得S_n=n+

n(n-1)

2

×3=

3

2

n2-

1

2

n．
（3）解：∵c_n=a_n•b_n=（3n-2）•

1

4n

，
∴T_n=

1

4

+

4

42

+

7

43

+…+

3n-2

4n

，①
∴

1

4

Tn=

1

42

+

4

43

+

7

44

+…+

3n-2

4n+1

，②
①-②，得

3

4

Tn=

1

4

+

3

42

+

3

43

+…+

3

4n

-

3n-2

4n+1

=

1

4

+

3 16 (1- 1 4n-1 )

1- 1 4

-

3n-2

4n+1

=

1

2

-

3n+2

4n+1

，
∴T_n=

2

3

-

3n+2

3×4n

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查等差數(shù)列的證明，考查數(shù)列的前n項(xiàng)和的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意裂項(xiàng)求和法的合理運(yùn)用．