Question

（08年湖北卷文）（本小題滿分12分）

   如圖，在直三棱柱中，平面側(cè)面

  （Ⅰ）求證：

  （Ⅱ）若，直線AC與平面所成的角為，二面角

Answer 1

(Ⅰ)證明：如圖，過點A在平面A₁ABB₁內(nèi)作AD⊥A₁B于D，則

由平面A₁BC⊥側(cè)面A₁ABB₁,且平面A₁BC∩側(cè)面A₁ABB₁＝A₁B，

得AD⊥平面

A₁BC.又BC平面A₁BC

所以AD⊥BC.

因為三棱柱ABC－A₁B₁C₁是直三棱柱,

則AA₁⊥底面ABC,所以AA₁⊥BC.

又AA₁∩AD=A,從而BC⊥側(cè)面A₁ABB₁,

又AB側(cè)面A₁ABB₁，

故AB⊥BC.

 

(Ⅱ)證法1：連接CD,則由(Ⅰ)知∠ACD就是直線AC與平面A₁BC所成的角，∠ABA₁就是二面角A₁－BC－A的頰角，即∠ACD＝θ，∠ABA₁=.

      于是在RtΔADC中，sinθ=,在RtΔADA₁中，sin∠AA₁D＝,

      ∴sinθ=sin∠AA₁D,由于θ與∠AA₁D都是銳角，所以θ＝∠AA₁D.

      又由RtΔA₁AB知，∠AA₁D＋＝∠AA₁B＋＝，故θ＋＝.

    

 證法2：由(Ⅰ)知，以點B為坐標(biāo)原點，以BC、BA、BB₁所在的直線分別為x軸、y軸、z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.

設(shè)AB=c（c＜a＝，則B(0,0,0)，A(0,c,0)，C(),

A₁(0,c,a)，于是，＝（0，c,a）,

c,a

設(shè)平面A₁BC的一個法向量為n=(x,y,z),

則由

可取n＝（0，－a，c），于是

n?=ac＞0，與n的夾角為銳角,則與互為余角

sin=cos=,

cos=

所以sin=cos=sin(),又0＜，＜，所以+=.

【試題解析】第（1）問證明線線垂直，一般先證線面垂直，再由線面垂直得線線垂直；第（2）問若用傳統(tǒng)方法一般來說要先作垂直，進(jìn)而得直角三角形。若用向量方法，關(guān)鍵在求法向量。

【高考考點】本題主要考查直棱柱、直線與平面所成的角、二面角和線面關(guān)系等有關(guān)知識，同時考查空間想象能力和推理能力。

【易錯提醒】要牢記面面角，線面角的范圍，特別是用向量法求二面角的時候要注意所要求的角與向量夾角的關(guān)系。

【備考提示】立體幾何中的垂直、平行，角與距離是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，應(yīng)該熟練掌握。