Question

10．已知函數(shù)f（x）=2cosx（$\sqrt{3}$sinx+cosx）+m，（x∈R，m∈R）．
（1）求f（x）的最小正周期；
（2）若f（x）在區(qū)間[0，$\frac{π}{2}$]上的最大值是6，求f（x）在區(qū)間[0，$\frac{π}{2}$]上的最小值．

Answer 1

分析 （1）利用三角恒等變換化簡函數(shù)的解析式，再利用正弦函數(shù)的周期性求得函數(shù)f（x）的最小正周期．
（2）由條件利用正弦函數(shù)的定義域和值域，求得m的值，從而求得f（x）在區(qū)間[0，$\frac{π}{2}$]上的最小值．

解答 解：（1）函數(shù)f（x）=2cosx（$\sqrt{3}$sinx+cosx）+m
=$\sqrt{3}$sin2x+cos2x+1+m=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）+1+m，
故函數(shù)f（x）的最小正周期為π．
（2）在區(qū)間[0，$\frac{π}{2}$]上，2x+$\frac{π}{6}$∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{7π}{6}$]，
故當(dāng)2x+$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}$時(shí)，f（x）取得最大值為2+1+m=6，∴m=3．
故當(dāng)2x+$\frac{π}{6}$=$\frac{7π}{6}$時(shí)，f（x）取得最小值為-1+1+m=3．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查三角恒等變換，正弦函數(shù)的周期性、正弦函數(shù)的定義域和值域，屬于基礎(chǔ)題．