Question

15．已知等比數(shù)列{a_n}的各項均為正數(shù)，S_n為其前n項和，對于任意的n∈N^*，滿足關系式2S_n=3a_n-3．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）設數(shù)列{b_n}的通項公式是b_n=$\frac{1}{lo{g}_{3}{a}_{n}（lo{g}_{3}{{a}_{n}}^{2}+1）}$，求證對一切的正整數(shù)n都有：b₁+b₂+…+b_n＜$\frac{2}{3}$．

Answer 1

分析 （1）當n≥2時，有2S_n-1=3a_n-1-3，2S_n=3a_n-3，兩式相減，得a_n=3a_n-1（n≥2），由此能求出a_n=3^n．
（2）把{a_n}的通項公式代入b_n=$\frac{1}{lo{g}_{3}{a}_{n}（lo{g}_{3}{{a}_{n}}^{2}+1）}$，得當n≥2時，$\frac{1}{n（2n+1）}=\frac{2}{2n（2n+1）}＜\frac{2}{（2n-1）（2n+1）}$=$\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}$，即可．

解答 解：（1）當n≥2時，有2S_n-1=3a_n-1-3，①
又2S_n=3a_n-3，②
②-①得，2（S_n-S_n-1）=2a_n=3a_n-3a_n-1，
即a_n=3a_n-1（n≥2）．
又當n=1時，2a₁=3a₁-3，
∴a₁=3．
故數(shù)列{a_n}為等比數(shù)列，且公比q=3．
∴a_n=3ⁿ．
數(shù)列{a_n}的通項公式a_n=3ⁿ；
（2）證明：∵log₃a_n=n，∴b_n=$\frac{1}{lo{g}_{3}{a}_{n}（lo{g}_{3}{{a}_{n}}^{2}+1）}$=$\frac{1}{n（2n+1）}$
當n≥2時，$\frac{1}{n（2n+1）}=\frac{2}{2n（2n+1）}＜\frac{2}{（2n-1）（2n+1）}$=$\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}$，$_{1}=\frac{1}{3}$
正整數(shù)n都有：b₁+b₂+…+b_n＜b₁$+\frac{1}{3}-\frac{1}{5}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+…+\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}=\frac{2}{3}-\frac{1}{2n+1}$+$\frac{1}{3}-\frac{1}{5}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+…+\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}$
=$\frac{2}{3}$-$\frac{1}{2n+1}$＜$\frac{2}{3}$．

點評 本題考查了 遞推式的應用及簡單的放縮再“裂項求和”求數(shù)列的前n項和，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．