【題目】已知指數(shù)函數(shù)y=g(x)滿足:g(3)=27,定義域為R的函數(shù)f(x)= 是奇函數(shù).
(1)確定y=g(x),y=f(x)的解析式;
(2)若h(x)=kx﹣g(x)在(0,1)上有零點(diǎn),求k的取值范圍;
(3)若對任意的t∈(1,4),不等式f(2t﹣3)+f(t﹣k)>0恒成立,求實數(shù)k的取值范圍.
【答案】
(1)解:設(shè)g(x)=ax(a>0且a≠1),則a3=27,∴a=3,∴g(x)=3x,…(1分)∴ ,
因為f(x)是奇函數(shù),所以f(0)=0,即 ,…(2分)
∴ ,又f(﹣1)=﹣f(1),∴ ;∴ .
(2)解:由(1)知:g(x)=3x,又因h(x)=kx﹣g(x)在(0,1)上有零點(diǎn),
從而h(0)h(1)<0,即(0﹣1)(k﹣3)<0,
∴k﹣3>0,∴k>3,
∴k的取值范圍為(3,+∞).
(3)解:由(1)知 ,
∴f(x)在R上為減函數(shù)
又因f(x)是奇函數(shù),f(2t﹣3)+f(t﹣k)>0
所以f(2t﹣3)>﹣f(t﹣k)=f(k﹣t),…10分
因f(x)為減函數(shù),由上式得:2t﹣3<k﹣t,
即對一切t∈(1,4),有3t﹣3<k恒成立,
令m(x)=3t﹣3,t∈[1,4],易知m(x)在[1,4]上遞增,所以ymax=3×4﹣3=9,
∴k≥9,
即實數(shù)k的取值范圍為[9,+∞).
【解析】(1)設(shè)g(x)=ax(a>0且a≠1),根據(jù)g(3)=27,定義域為R的函數(shù)f(x)= 是奇函數(shù)即可解出;(2)h(x)=kx﹣g(x)在(0,1)上有零點(diǎn),從而h(0)h(1)<0,(3)對任意的t∈R不等式f(t2﹣2t)+f(2t2﹣k)<0恒成立,則f(t2﹣2t)<﹣f(2t2﹣k)=f(k﹣2t2)恒成立,因此t2﹣2t>k﹣2t2 , 化為k<3t2﹣2t在t∈R上恒成立k<(3t2﹣2t)min , 此函數(shù)為二次函數(shù),求出最值即可
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,已知橢圓: 的離心率為, 、為橢圓的左右頂點(diǎn),焦點(diǎn)到短軸端點(diǎn)的距離為2, 、為橢圓上異于、的兩點(diǎn),且直線的斜率等于直線斜率的2倍.
(Ⅰ)求證:直線與直線的斜率乘積為定值;
(Ⅱ)求三角形的面積的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知a>0且a≠1,函數(shù)f(x)=loga .
(1)求f(x)的定義域D及其零點(diǎn);
(2)設(shè)g(x)=mx2﹣2mx+3,當(dāng)a>1時,若對任意x1∈(﹣∞,﹣1],存在x2∈[3,4],使得f(x1)≤g(x2),求實數(shù)m的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)函數(shù)f(x)=﹣x3+3x+2分別在x1、x2處取得極小值、極大值.xOy平面上點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為(x1 , f(x1))、(x2 , f(x2)),該平面上動點(diǎn)P滿足 =4.求:
(1)求點(diǎn)A、B的坐標(biāo);
(2)求動點(diǎn)P的軌跡方程.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在四面體ABCD中,CB=CD,AD⊥BD,點(diǎn)E,F(xiàn)分別是AB,BD的中點(diǎn). 求證:
(Ⅰ)直線EF∥平面ACD;
(Ⅱ)平面EFC⊥平面BCD.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=ex-a+lnx。
(1)若a=1,求證:當(dāng)x>1時,f(x)>2x-1
(2)若存在x0≥e,使f(x)<2lnx0,求實數(shù)a的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】隨著“全面二孩”政策推行,我市將迎來生育高峰。今年新春伊始,泉城各醫(yī)院產(chǎn)科就已經(jīng)是一片忙碌至今熱度不減。衛(wèi)生部門進(jìn)行調(diào)查統(tǒng)計期間發(fā)現(xiàn)各醫(yī)院的新生兒中,不少都是“二孩”;在市第一醫(yī)院,共有40個猴寶寶降生,其中10個是“二孩”寶寶;
(1)從兩個醫(yī)院當(dāng)前出生的所有寶寶中按分層抽樣方法抽取7個寶寶做健康咨詢,
①在市第一醫(yī)院出生的一孩寶寶中抽取多少個?
②若從7個寶寶中抽取兩個寶寶進(jìn)行體檢,求這兩個寶寶恰出生不同醫(yī)院且均屬“二孩”的概率;
(II)根據(jù)以上數(shù)據(jù),能否有85%的把握認(rèn)為一孩或二孩寶寶的出生與醫(yī)院有關(guān)?
P(k≥k市) | 0.40 | 0.25 | 0.15 | 0.10 |
k市 | 0.708 | 1.323 | 2.072 | 2.706 |
K2=
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】對于實數(shù)x,符號[x]表示不超過x的最大整數(shù),例如[π]=3,[﹣1.08]=﹣2,定義函數(shù)f(x)=x﹣[x],下列命題中正確命題的序號 .
①函數(shù)f(x)的最大值為1;
②函數(shù)f(x)的最小值為0;
③方程f(x)﹣ =0有無數(shù)個解;
④函數(shù)f(x)是增函數(shù);
⑤對任意的x∈R,函數(shù)f(x)滿足f(x+1)=f(x);
⑥函數(shù)f(x)的圖象與函數(shù)g(x)=|lgx|的圖象的交點(diǎn)個數(shù)為10個.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】將函數(shù)y=sinx的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的 倍(縱坐標(biāo)不變),再將所得的圖象向左平移 個單位長度后得到函數(shù)f(x)的圖象
(1)寫出函數(shù)f(x)的解析式;
(2)若對任意的x∈[﹣ , ],f2(x)﹣mf(x)﹣1≤0恒成立,求實數(shù)m的取值范圍;
(3)求實數(shù)a和正整數(shù)n,使得F(x)=f(x)﹣a在[0,nπ]上恰有2017個零點(diǎn).
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